mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 08, 2020 11:08 pm**

Με αφορμή αυτό το θέμα:

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του ακεραίου $\displaystyle{m}$ , ώστε να ισχύει

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3-3abc\geq m(a-b)(b-c)(c-a)}$

για κάθε $\displaystyle{a,b,c\geq 0.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 09, 2020 12:04 am**

Η μέγιστη τιμή του

είναι 4.

Αν a=3,b=0,c=1

, έχουμε $28 \geqslant 6m \Rightarrow m \leqslant 14/3$ , και αφού

φυσικός, είναι $m \leqslant 4$ .

Μένει να δείξω ότι για m=4

η ανισότητα όντως ισχύει.

Θέλω δηλαδή να δείξω ότι $a^3+b^3+c^3-3abc \geqslant 4(a-b)(b-c)(c-a)$ .

Το αριστερό μέλος της παραπάνω είναι προφανώς $\geqslant 0$ από την ΑΜ-ΓΜ, οπότε αν (a-b)(b-c)(c-a) <0

δεν έχω κάτι να δείξω.

Έστω λοιπόν $(a-b)(b-c)(c-a) \geqslant 0$ , και χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω $a=\rm max$ $\{a,b,c \}$ .

Τότε, $a-b \geqslant 0 \geqslant c-a$ , οπότε $b-c \leqslant 0 \Rightarrow a \geqslant c \geqslant b$ .

Έστω, $a=b+k,c=b+\ell$ , με $k,\ell \geqslant 0$ .

Τότε, θέλω να δείξω ότι $(b+k)^3+b^3+(b+\ell)^3-3(b+k)(b+\ell)b \geqslant 4k\ell(k-\ell)$ , που γράφεται $(3k^2-3k\ell+3\ell^2)b+k^3+\ell^3 \geqslant 4k \ell(k-\ell)$ .

Όμως, είναι προφανές ότι $3k^2-3k\ell+3\ell^2=3(k-\ell/2)^2+3\ell^2/4 \geqslant 0$ , άρα αρκεί να δείξω ότι $k^3+\ell^3 \geqslant 4k \ell(k-\ell)$ .

Θέτω $k/\ell=m$ (αν $\ell=0$ , έχω να δείξω ότι $k^3 \geqslant 0$ , που είναι προφανής), και αρκεί να δείξω ότι $m^3+1 \geqslant 4m(m-1) \Rightarrow m(m-2)^2+1 \geqslant 0$ , που ισχύει.

Άρα όντως η μέγιστη τιμή του

είναι 4.

mathematica.gr

Ευκολότερη εκδοχή!

Ευκολότερη εκδοχή!

Re: Ευκολότερη εκδοχή!