Συναρτησιακή(!)
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Συναρτησιακή(!)
Να βρεθούν όλες οι αύξουσες συναρτήσεις ώστε για κάθε ζεύγος πραγματικών να ισχύει η σχέση:
.
.
Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συναρτησιακή(!)
Πολύ καλή!
Παρακάτω συμβολίζω τη δοσμένη με .
Πρόταση 1.
Η είναι .
Απόδειξη:
Έστω προς άτοπο πως υπάρχουν με .
Παίρνουμε περιπτώσεις:
Περίπτωση 1. .
Το δίνει το αποτέλεσμα.
Περίπτωση 2.
Επειδή αύξουσα θα ισχύει πως οπότε παίρνοντας για ένα του διαστήματος αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση.
Περίπτωση 3..
Η είναι προφανώς μη-άνω-φραγμένη (θέτουμε στην αρκετά μεγάλο).
Θέτοντας τώρα σταθερό αρκετά μεγάλο (ώστε πχ.)και μεταβάλλοντας το στο ,στο οποίο η είναι σταθερή,λαμβάνουμε πως η είναι σταθερή (καθώς μεταβάλλεται το ) σε ένα διάστημα δεξιά του μηδενός,το οποίο είναι άτοπο από τις προηγούμενες περιπτώσεις.
Συνεπώς η είναι πράγματι .
Πρόταση 2.
Η δεν είναι κάτω φραγμένη.
Έστω προς άτοπο πως είναι .
Τότε λόγω της μονοτονίας της , οπότε αν ορίσουμε την ακολουθία ως και την ακολουθία ως ,
από τα παραπάνω, με αποτέλεσμα .
Από την άλλη, το οποίο είναι άτοπο.
Έτσι πράγματι η δεν είναι κάτω φραγμένη.
Ως εκτούτου,.
Έχουμε και άρα αφού έχουμε .
Πλέον το δίνει .
Λόγω μονοτονίας της έπεται τελικά πως .
Έτσι η μετατρέπεται σε .
Για κάθε μπορούμε να βρούμε ώστε οπότε με βάση τα παραπάνω ή που είναι η μοναδική λύση.
Παρακάτω συμβολίζω τη δοσμένη με .
Πρόταση 1.
Η είναι .
Απόδειξη:
Έστω προς άτοπο πως υπάρχουν με .
Παίρνουμε περιπτώσεις:
Περίπτωση 1. .
Το δίνει το αποτέλεσμα.
Περίπτωση 2.
Επειδή αύξουσα θα ισχύει πως οπότε παίρνοντας για ένα του διαστήματος αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση.
Περίπτωση 3..
Η είναι προφανώς μη-άνω-φραγμένη (θέτουμε στην αρκετά μεγάλο).
Θέτοντας τώρα σταθερό αρκετά μεγάλο (ώστε πχ.)και μεταβάλλοντας το στο ,στο οποίο η είναι σταθερή,λαμβάνουμε πως η είναι σταθερή (καθώς μεταβάλλεται το ) σε ένα διάστημα δεξιά του μηδενός,το οποίο είναι άτοπο από τις προηγούμενες περιπτώσεις.
Συνεπώς η είναι πράγματι .
Πρόταση 2.
Η δεν είναι κάτω φραγμένη.
Έστω προς άτοπο πως είναι .
Τότε λόγω της μονοτονίας της , οπότε αν ορίσουμε την ακολουθία ως και την ακολουθία ως ,
από τα παραπάνω, με αποτέλεσμα .
Από την άλλη, το οποίο είναι άτοπο.
Έτσι πράγματι η δεν είναι κάτω φραγμένη.
Ως εκτούτου,.
Έχουμε και άρα αφού έχουμε .
Πλέον το δίνει .
Λόγω μονοτονίας της έπεται τελικά πως .
Έτσι η μετατρέπεται σε .
Για κάθε μπορούμε να βρούμε ώστε οπότε με βάση τα παραπάνω ή που είναι η μοναδική λύση.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συναρτησιακή(!)
Καταρχάς για , αν , είναι , (θέτουμε όπου τα αντίστοιχα).
Για και , αν , τότε αφού είναι αύξουσα θα είναι και , άτοπο (θέτουμε όπου και όπου το )
Οπότε αν , με , τότε .
Έστω πως για κάθε πραγματικό .
Αντικαθιστούμε στην αρχική όπου το (μπορούμε να το κάνουμε για κάθε πραγματικό ). Έχουμε:
, για κάθε πραγματικούς .
Εναλλάσσοντας τα έχουμε και ότι .
Συγκρίνοντας: , για κάθε πραγματικό . Αν , τότε , οπότε εφαρμόζοντας το παραπάνω:
, άρα , για κάθε και για κάθε πραγματικό . Όμως για που τείνει στο πλην άπειρο έχουμε άτοπο (το θα είναι και αυτό "μικρό", αφού η είναι αύξουσα).
Οπότε υπάρχει , ώστε , άρα με κατάλληλο , υπάρχει , ώστε .
Έστω πως . Τότε . Έστω πως .
Θέτοντας στην αρχική , έχουμε πως .
Θέτοντας στην αρχική (μπορούμε) και , έχουμε πως , όμως από τα παραπάνω αφού θα είναι , δηλαδή , άτοπο.
Συνεπώς .
Αν ήταν , τότε θέτοντας και έχουμε ότι , οπότε , δηλαδή .
Σε κάθε περίπτωση λοιπόν είναι .
Θέτοντας τώρα στην αρχική είναι , οπότε για κάθε
Θέτουμε όπου το για , οπότε ή , άρα για κάθε .
Η αρχική τώρα γίνεται , για κάθε . Αν τώρα το γίνει πολύ μεγάλο για συγκεκριμένο , έχουμε ότι , οπότε ή .
Συνοψίζοντας, , για κάθε πραγματικό (επαληθεύει).
Edit: Βλέπω ξενυχτούν και άλλοι ...
Για και , αν , τότε αφού είναι αύξουσα θα είναι και , άτοπο (θέτουμε όπου και όπου το )
Οπότε αν , με , τότε .
Έστω πως για κάθε πραγματικό .
Αντικαθιστούμε στην αρχική όπου το (μπορούμε να το κάνουμε για κάθε πραγματικό ). Έχουμε:
, για κάθε πραγματικούς .
Εναλλάσσοντας τα έχουμε και ότι .
Συγκρίνοντας: , για κάθε πραγματικό . Αν , τότε , οπότε εφαρμόζοντας το παραπάνω:
, άρα , για κάθε και για κάθε πραγματικό . Όμως για που τείνει στο πλην άπειρο έχουμε άτοπο (το θα είναι και αυτό "μικρό", αφού η είναι αύξουσα).
Οπότε υπάρχει , ώστε , άρα με κατάλληλο , υπάρχει , ώστε .
Έστω πως . Τότε . Έστω πως .
Θέτοντας στην αρχική , έχουμε πως .
Θέτοντας στην αρχική (μπορούμε) και , έχουμε πως , όμως από τα παραπάνω αφού θα είναι , δηλαδή , άτοπο.
Συνεπώς .
Αν ήταν , τότε θέτοντας και έχουμε ότι , οπότε , δηλαδή .
Σε κάθε περίπτωση λοιπόν είναι .
Θέτοντας τώρα στην αρχική είναι , οπότε για κάθε
Θέτουμε όπου το για , οπότε ή , άρα για κάθε .
Η αρχική τώρα γίνεται , για κάθε . Αν τώρα το γίνει πολύ μεγάλο για συγκεκριμένο , έχουμε ότι , οπότε ή .
Συνοψίζοντας, , για κάθε πραγματικό (επαληθεύει).
Edit: Βλέπω ξενυχτούν και άλλοι ...
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες