Ανισότητα με έξι μεταβλητές!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1474
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ανισότητα με έξι μεταβλητές!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Αύγ 31, 2019 12:07 am

Μία ανισότητα που έφτιαξα :

Αν a,b,c,x,y,z > 0 ώστε, \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \leqslant \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}, να δείξετε ότι

\dfrac{a^{n+1}-a^n}{x}+\dfrac{b^{n+1}-b^n}{y}+\dfrac{c^{n+1}-c^n}{z} \geqslant 0, για κάθε n \in \mathbb{N}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με έξι μεταβλητές!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 31, 2019 10:55 am

Για κάθε θετικό t και φυσικό n έχουμε t^{n+2} - t^{n+1} \geqslant t^{n+1} - t^n αφού η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την t^n(t-1)^2 \geqslant 0.

Άρα η παράσταση \displaystyle \dfrac{a^{n+1}-a^n}{x}+\dfrac{b^{n+1}-b^n}{y}+\dfrac{c^{n+1}-c^n}{z} είναι αύξουσα στο n. Επομένως αρκεί να δείξουμε τη ζητούμενη ανισότητα για n=0. Δηλαδή να δείξουμε ότι \displaystyle  \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \geqslant \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\,.

Από Cauchy-Schwarz είναι:

\displaystyle  \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \geqslant \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}} \right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \geqslant \frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \right)^2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{xyz(xy+yz+zx)^2}

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι

\displaystyle  \frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \right)^2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{xyz(xy+yz+zx)^2} \geqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy+yz+zx}{xyz}

ή ισοδύναμα ότι

\displaystyle  (\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} )(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} )(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \geqslant (xy+yz+zx)^3.

Το τελευταίο προκύπτει από την Holder.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1474
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανισότητα με έξι μεταβλητές!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Σεπ 01, 2019 8:35 pm

Δημήτρη, έτσι ακριβώς την κατασκεύασα! :coolspeak:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης