Συναρτησιακή!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Συναρτησιακή!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Αύγ 19, 2019 11:39 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:Z^{+} \rightarrow Z^{+} ,ώστε xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2 για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων (x,y).


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Συναρτησιακή!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Αύγ 20, 2019 3:58 pm

JimNt. έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 11:39 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:Z^{+} \rightarrow Z^{+} ,ώστε xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2 για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων (x,y).
Έχει λάθος
Θα δημιουργήσουμε διαφορά τετραγώνων ώστε να εμφανιστεί το "κάτω" μέλος.

Θέτω όπου y το g(x)-x^{2} με g(x) τέτοιο ώστε να επαληθεύει τους περιοριμούς (θα το διώξουμε μετά όταν φτάσουμε στο σημείο που θα δούμε τη βολεύει). Οπότε

xf(x)+f(g(x)-x^{2})\mid g(x)f^{2}(x)+(xf(x)+f(g(x)-x^{2}))(-xf(x)+f(g(x)-x^{2}))

Δηλαδή xf(x)+f(g(x)-x^{2})\mid g(x)f^{2}(x) (a)

Αν στην αρχική βάλουμε όπου y το 1 τότε έχουμε xf(x)+f(1)\mid f^{2}(x)+f^{2}(1)\mid x^{2}f^{2}(x)+x^{2}f^{2}(1) (b)

Θέτω g(x) το x^{2}+1 στην (α) (όταν έλυσα την άσκηση πρώτα έκανα αυτό και μετά το (b))

xf(x)+f(1)/x^{2}f^{2}(x)+1 (c)

Aπό την (b) αφαιρώ την (c) και έχουμε xf(x)+f(1)\mid x^{2}f^{2}(1)-1 (d) Αυτό ισχύει για κάθε x θετικό ακέραιο

Στην (d) θέτω όπου x το 1 2f(1)\mid (f(1)-1)(f(1)+1) το οποίο ισχύει αν και μόνο αν f(1)=1 (απλή απόδειξη)

η (d) γίνεται xf(x)+1\mid x^{2}-1 και τώρα όπου x το 3 έχουμε 3f(3)+1\mid 8 άτοπο αφού f(3) ακέραιος άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση


miltosk
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2019 7:28 pm

Re: Συναρτησιακή!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από miltosk » Τρί Αύγ 20, 2019 4:38 pm

Η ταυτοτική δεν ικανοποιεί τα δεδομένα της άσκησης;


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συναρτησιακή!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Αύγ 20, 2019 8:59 pm

Έστω ,f άνω φραγμένη.Επειδή είναι κάτω φραγμένη,το xf(x)+f(y) είναι μη φραγμένο για μεταβλητό x και y σταθερό,ενώ το yf(x)^{2}+f(y)^{2} είναι φραγμένο-άτοπο.
Άρα f μη φραγμένη.
Ισχύει πως xf(x)+f(y)/xyf(x)^{2}+yf(x)f(y),xf(x)+f(y)/xyf(x)^{2}+xf(y)^{2} δηλαδή και xf(x)+f(y)/f(y)(xf(y)-yf(x)).
Ξανακρατάω σταθερό το y.
Αφού η f είναι μη φραγμένη,είναι απλό πως xf(x)+f(y)> f(y)(xf(y)-yf(x)), xf(x)+f(y)> f(y)(-xf(y)+yf(x)) για μεγάλα x και συνεπώς η διαιρετότητα δεν μπορεί να ισχύει εκτός αν f(x)/x=f(y)/y.Έτσι,για κάθε y υπάρχει αρκετά μεγάλο x ώστε f(y)/y=f(x)/x οπότε τελικά f(y)=cy
που επαληθεύει.
Αν πρόκειται για ιδιοκατασκευή :clap2:


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συναρτησιακή!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Αύγ 20, 2019 10:22 pm

:coolspeak: Η λύση μου είχε μια πιο αριθμοθεωρητική προσέγγιση, αλλά και η δική σου καλή είναι.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης