mathematica.gr • Συναρτησιακή

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 27, 2019 10:50 am

από JimNt.

Να βρεθούν όλες οι $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την f(x+f(y))=f(x)+y^2

f(x+f(y))=f(x)+y^2

για κάθε ζεύγος πραγματικών (x,y)

(x,y)

.

Re: Συναρτησιακή

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 27, 2019 12:13 pm

από Διονύσιος Αδαμόπουλος

Θέτοντας

x=y=0

, παίρνουμε ότι f(f(0))=f(0)

f(f(0))=f(0)

.

Θέτοντας y=0

y=0

και

y=f(0)

και συγκρίνοντας τα δεύτερα μέλη έχουμε ότι $f(0)^2=0\Leftrightarrow f(0)=0$ .

Για x=0

x=0

έχουμε

f(f(y))=y^2

, ενώ για

x=-f(y)

, έχουμε

f(-f(y))=-y^2

, οπότε η

είναι επί.

Ακόμη, η σχέση που μας δίνεται γίνεται:

f(x+f(y))=f(x)+f(f(y))

f(x+f(y))=f(x)+f(f(y))

και αφού

επί, προκύπτει ότι f(x+u)=f(x)+f(u)

f(x+u)=f(x)+f(u)

, για κάθε

και

.

Ωστόσο, $f(f(x+w))=(x+w)^2\Leftrightarrow f(f(x)+f(w))=(x+w)^2\Leftrightarrow f(f(x))+f(f(w))=(x+w)^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2+w^2=(x+w)^2$ , για κάθε x, w

x, w

άτοπο.

Άρα δεν έχουμε καμία λύση;!

Re: Συναρτησιακή

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 27, 2019 6:40 pm

από christinat

Αν

y=0

:

f(0)=0

Αν

x=0

: $f(f(y))=y^{2}$

Αν x=-f(y)

x=-f(y)

τοτε

-f(f(y))=f(-f(y))

Από την τελευταία σχεση προκύπτει ότι f(ty)=yf(t)

f(ty)=yf(t)

,όπου

t=-1

και y πραγματικός αριθμός

Θέτοντας f(-1)=a

f(-1)=a

παίρνουμε ότι f(y)=ay

f(y)=ay

για κάθε πραγματική τιμή του

Επίσης $f(f(y))=y^{2}=a(f(ay ))=a^{2}y$ (1)
f(f(y))=f(ay )=yf(a)

f(f(y))=f(ay )=yf(a)

Οποτε $f(a)=a^{2}\Rightarrow a=\frac{f(a)}{a}\Rightarrow a=f(a)*\frac{1}{a}\Rightarrow a=f(1)$ (2)

Αν x=y

x=y

τοτε από την συναρτησιακη έχουμε $f(x+f(x))=f(x)+x^{2}\Rightarrow a(x+f(x))=f(x)+x^{2}\Rightarrow x^{2}=af(x)\Rightarrow f(x)=x^{2}*\frac{1}{f(1)}$ (3)για ολους τους πραγματικούς x,y

x,y

Λόγω της (1): f(f(1))=1

f(f(1))=1

ή

f(f(-1))=1

Άρα

a=1

ή

a=-1

Από

f(x)=ax

και από την σχεση (3) λαμβάνουμε τις περιπτώσεις: $f(x)=x^{2}$ ή $f(x)=-x^{2}$ ή f(x)=x

f(x)=x

ή

f(x)=-x

Κάνοντας αντικατάσταση στην συναρτησιακη για καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει αντίστοιχα
f(x)=x

f(x)=x

,άτοπο γιατί $f(x)=x^{2}$
f(x)=-x

f(x)=-x

,άτοπο αφού $f(x)=-x^{2}$
$f(y)=y^{2}$ ,άτοπο αφού f(x)=x

f(x)=x

$f(y)=-y^{2}$ ,άτοπο

Όλα τα παραπάνω ισχύουν μόνο όταν x=y=0

x=y=0

ή

x=y=1

και η συναρτησιακη επαληθεύεται μόνο για αυτες τις τιμές

Σε κάθε άλλη περίπτωση δεν έχουμε λυση