Άπειρο άθροισμα

#1

Να υπολογιστεί η τιμή του

$\displaystyle \sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \frac{ab(3a+c)}{4^{a+b+c}(a+b)(b+c)(c+a)}$

Tolaso J Kos · #2

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 22, 2019 10:00 am
Να υπολογιστεί η τιμή του

$\displaystyle \sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \frac{ab(3a+c)}{4^{a+b+c}(a+b)(b+c)(c+a)}$

Γεια σου Δημήτρη,

τη βασική μόνο ιδέα. Αθροίζοντας πάνω από τις

μεταθέσεις των $\alpha, \beta, \gamma$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} 6 \sum_{\alpha=1}^{\infty} \sum_{\beta=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{\infty} \frac{\alpha \beta \left ( 3\alpha+\gamma \right )}{4^{\alpha +\beta + \gamma} \left ( \alpha+\beta \right )\left ( \beta+\gamma \right )\left ( \gamma+\alpha \right )} &= \sum_{\alpha=1}^{\infty} \sum_{\beta=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{\infty} \frac{3\left ( \alpha^2\beta + \alpha^2 \gamma +\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta \right )+ 6 \alpha \beta \gamma}{4^{\alpha+\beta+ \gamma}\left ( \alpha+\beta \right )\left ( \beta+\gamma \right )\left ( \gamma+\alpha \right )} \\ &=\sum_{\alpha=1}^{\infty} \sum_{\beta=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{\infty} \frac{3}{4^{\alpha+\beta + \gamma}} \\ &= \cdots \end{aligned}}$
διότι εύκολα διαπιστώνει κάποιος ότι $\displaystyle{3\left ( \alpha^2\beta + \alpha^2 \gamma +\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta \right )+ 6 \alpha \beta \gamma =3\alpha \beta \gamma}$ . ( αφήνεται ως απλή άσκηση στον αναγνώστη )

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υ.Σ: Τι είναι το HMMT ;

Τσιαλας Νικολαος · #3

Ο ΗΜΜΤ είναι ένας διαγωνισμός μαθηματικών που συνδιοργανώνουν το Ηarvard και το ΜΙΤ. Συμμετέχουν οι 900 καλύτεροι μαθητές λυκείου των ΗΠΑ. Για όλους τους υπόλοιπους που δεν μπορούμε να είμαστε εκει δίνει το δικαίωμα συμμετοχής μέσω ίντερνετ χωρίς όμως να δικαιούμαστε κάποιο βραβείο. Έχει 4 διαγωνίσματα που συμμετέχεις σε διαφορετικό πεδίο... Όπως άλγεβρα και θεωρία αριθμών.. γεωμετρία... Combinatorics. Τέτοια οργάνωση και τόσο καλή σχεδίαση εγώ προσωπικά δεν έχω ξαναδεί. Το εκάστοτε τεστ έχει 10 ερωτήσεις και πρέπει να απαντηθεί μόνο το αποτέλεσμα μέσα σε 50 λεπτά!

Άπειρο άθροισμα

Άπειρο άθροισμα

Re: Άπειρο άθροισμα

Re: Άπειρο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση