Ανίσωση 2

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ανίσωση 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Σεπ 14, 2018 12:40 pm

Αν για τους θετικούς a,b,c ισχύει ότι 2a^{2}\geq b^{2},2b^{2}\geq c^{2} KAI 2c^{2}\geq a^{2} να αποδείξετε το εξής

\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}\geq3 \sqrt[6]{(2a^{2}-b^{2})(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-a^{2})}



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανίσωση 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Σεπ 14, 2018 3:18 pm

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω:

\sqrt[3]{(2a^2-b^2)(2b^2-c^2)(2c^2-a^2)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\Leftrightarrow 3\sqrt[6]{(2a^2-b^2)(2b^2-c^2)(2c^2-a^2)}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}

Οπότε αρκεί ν.δ.ό.

\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \sqrt{3}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}

Ομως από Cauchy -Schwartz:

\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}= \frac{a^4}{ca^2}+\frac{b^4}{ab^2}+\frac{c^4}{bc^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ca^2+ab^2+bc^2}

Οπότε, αρκεί ν.δ.ό.

(a^2+b^2+c^2)^3\geq 3(ca^2+ab^2+bc^2)^2

Ομως, από Cauchy -Schwartz:

(ca^2+ab^2+bc^2)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

Αρα, αρκεί ν.δ. ό.

(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geq 0, που προφανώς ισχύει.


Κώστας Σφακιανάκης
min##
Δημοσιεύσεις: 119
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ανίσωση 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Σεπ 14, 2018 7:45 pm

Άλλη προσέγγιση:Είναι LHS\geq 3\sqrt[3]{abc},οπότε αρκεί xyz\geq (2x-y)(2y-z)(2z-x) με x,y,z=a^2,b^2,c^2.Από εδώ μπορώ να κάνω το εξής:2x-y=k,2y-z=l,2z-x=m,οπότε αρκεί \frac{(4k+2l+m)(k+4l+2m)(2k+l+4m)}{7^{3}}\geq kml το οποίο είναι προφανές από AM-GM.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ανίσωση 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Σεπ 18, 2018 1:59 pm

Αλλιώς αρκεί να δείξω 2\frac{a^{2}}{c}+2\frac{b^{2}}{a}+2\frac{c^{2}}{b}\geq6 \sqrt[6]{(2a^{2}-b^{2})(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-a^{2})}

2\frac{a^{2}}{c}+2\frac{b^{2}}{a}+2\frac{c^{2}}{b}=\frac{2a^{2}-b^{2}+b^{2}}{c}+\frac{2b^{2}-c^{2}+c^{2}}{a}+\frac{2c^{2}-a^{2}+a^{2}}{b}\geq

\geq \frac{2b\sqrt{2a^{2}-b^{2}}}{c}+\frac{2c\sqrt{2b^{2}-c^{2}}}{a}+\frac{2a\sqrt{2c^{2}-a^{2}}}{b}\geq 6\sqrt[3]{abc}\frac{\sqrt[6]{(2a^{2}-b^{2})(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-a^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης