Ανίσωση!!!

Xriiiiistos · #1

Αν

μη αρνητικοί να αποδείξετε

$(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+y)]^{2}$

nikkru · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 30, 2018 5:38 pm
Αν μη αρνητικοί να αποδείξετε

$(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+y)]^{2}$

Για

μη αρνητικούς, έχουμε: $(2a+b)(2b+a)=4ab+2a^2+2b^2+ab=2(a+b)^2+ab \geq 2(a+b)^2\geq 0$

Οπότε: $(2x+y)(2y+x) \geq 2(x+y)^2 \geq 0$ , $(2y+z)(2z+y) \geq 2(y+z)^2 \geq 0$ και $(2x+z)(2z+x) \geq 2(x+z)^2 \geq 0$ .

Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους προκύπτει το ζητούμενο.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Να υποθέσω πως είναι:

$(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+x)]^{2}$

Θα αποδείξουμε πως $(2x+y)(2y+x)\geq 2(x+y)^2\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+5xy\geq 2(x+y)^2\Leftrightarrow xy\geq 0$ που ισχύει με ισότητα όταν αν ένας από τους x, z

είναι

.

Όμοια είναι $(2z+x)(2x+z)\geq 2(z+x)^2$ και $(2y+z)(2z+y)\geq 2(y+z)^2$ άρα πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε την ζητούμενη ανισότητα.

Η ισότητα ισχύει αν xy=yz=zx=0

που για να ικανοποιείται αρκεί

από τους

να είναι ίσοι με

.

Με πρόλαβαν!

Ανίσωση!!!

Ανίσωση!!!

Re: Ανίσωση!!!

Re: Ανίσωση!!!

Μέλη σε σύνδεση