Δύσκολη Ανίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Δύσκολη Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 16, 2018 3:58 pm

Oι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί τέτοιοι ώστε να μπορούν να γίνουν πλευρές τριγώνου και να επαληθεύουν την σχέση x+y+z=2. Να αποδείξετε

\frac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\frac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\frac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1}



Η συγκεκριμένη είναι δικιά μου άσκηση όταν ανεβαστεί λύση θα ήθελα να μάθω σε τι επίπεδο διαγωνισμού θα την κατατάσσατε(από περιέργια) :coolspeak:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 16, 2018 5:24 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Αύγ 16, 2018 3:58 pm
Oι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί τέτοιοι ώστε να μπορούν να γίνουν πλευρές τριγώνου και να επαληθεύουν την σχέση x+y+z=2. Να αποδείξετε

\frac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\frac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\frac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1}
Κάτι δεν πάει καλά: Για x=y=z=\frac {2}{3} , η υπόρριζη ποσότητα  zx+yz+xy-xyz-1= \frac {4}{9}+\frac {4}{9}+\frac {4}{9}-\frac {8}{27}-1= -\frac {11}{27} είναι αρνητική...

Edit αργότερα: Το αποσύρω καθώς έκανα λάθος τις πράξεις... :oops:
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Αύγ 16, 2018 6:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 16, 2018 5:47 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Αύγ 16, 2018 5:24 pm
Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Αύγ 16, 2018 3:58 pm
Oι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί τέτοιοι ώστε να μπορούν να γίνουν πλευρές τριγώνου και να επαληθεύουν την σχέση x+y+z=2. Να αποδείξετε

\frac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\frac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\frac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1}
Κάτι δεν πάει καλά: Για x=y=z=\frac {2}{3} , η υπόρριζη ποσότητα  zx+yz+xy-xyz-1= \frac {4}{9}+\frac {4}{9}+\frac {4}{9}-\frac {8}{27}-1= -\frac {11}{27} είναι αρνητική...
Πράγματι κάτι δεν πάει αλλά \frac {4}{9}+\frac {4}{9}+\frac {4}{9}-\frac {8}{27}-1=\dfrac{1}{27}... Το πρόβλημα είναι ότι θέτοντας x=y=z=\frac {2}{3} δεν έχουμε ισότητα...


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Αύγ 16, 2018 6:11 pm

Παρ΄όλα αυτά η ανισότητα εξακολουθεί να είναι πολύ ωραία και έχει μια εξαιρετικά ωραία λύση.


Bye :')
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 16, 2018 6:20 pm

Δεν μπορώ να βρω λάθος στην διαδικασία .
Αρχίζω γράφοντας \frac{2x+y}{\sqrt{x+y}}=\frac{(x+y-z)+(x+z)}{\sqrt{x+y}}\geq 2\frac{\sqrt{(x+z)(x+y-z)}}{\sqrt{x+z}}=2\sqrt{(x+y-z)}ομοίως καιγ ια τα άλλα η ανίσωση επιτρέπεται αφού x+y>z τώρα έχουμε

επίσης 2\sqrt{(x+y-z)}=2\sqrt{(2-2z)}=2\sqrt{2}\sqrt{1-z} άρα αρκεί να αποδείξουμε 2\sqrt{2}\sqrt{1-z}+2\sqrt{2}\sqrt{1-x}+2\sqrt{2}\sqrt{1-y}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+...}

το πρώτο μέλος γίνεται 2\sqrt{2}(\sqrt{1-z}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y})\geq 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt[3]{\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}}=6\sqrt{2}\sqrt[6]{((1-x)(1-y)(1-z))}

(1-x)(1-y)(1-z)=1+zx+yx+zx-(x+y+z(=2))-xyz και έτσι ολοκληρώνεται


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 16, 2018 8:15 pm

Όταν έγραψα την λύση έφυγα απευθείας από το σπίτι για στίβο. Καθώς έκανα κατάλαβα γιατί δεν ισχύ η ισότητα. (Η λύση είναι στην απόκρυψη κειμένου από πάνω).
Η ισότητα θα ισχύ όταν \sqrt{1-z}=\sqrt{1-x}=\sqrt{1-y}<=>x=y=z(i) (δες προτελευταία σειρά από πάνω) και επείσης θα πρέπει x+z=x+y-z (3 σειρές από το τέλος) που είναι αδύνατη λόγο της (i) οπότε αποκλίεται η ισότητα (αλλιώς θα είναι όλα 0 πράγμα άτοπο)
Οπότε το μόνο λάθος που πρέπει να έκανα είναι ότι δεν επαλήθευσα αν ισχύ η ισότητα που προφανώς δεν ισχύ. Τέλος πάντων χωρ'ις την ισότητα είμαι σίγουρος πως είναι σωστή, αφού δημοσίευσα την λύση τι λέτε για την άσκηση; Σε τι επίπεδο θα την βάζατε;


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 16, 2018 9:17 pm

Διαφορετικά:

(Βιάζομαι λίγο θα βάλω τη λύση συνοπτικά)

Αφού x, y, z είναι πλευρές τριγώνου μπορούμε να θέσουμε x=a+b, y=b+c, z=c+a και θα ικανοποιείται πάντα η τριγωνική ανισότητα.

Η συνθήκη γίνεται a+b+c=1 και κάνοντας λίγες πράξεις προκύπτει ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι:

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)-1-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)-2abc}\Leftrightarrow

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{ab+bc+ca-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)-2abc}\Leftrightarrow (*)

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{abc}.

Παρατηρούμε ότι \dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}=\sqrt{a+1}+ \dfrac{2b}{\sqrt{1+a}}\geq 2\sqrt{2b}, επομένως αρκεί:

2\sqrt{2a}+2\sqrt{2b}+2\sqrt{2c}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{abc}\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt[6]{abc} που ισχύει από AM-GM.

(*) έθεσα όπου a+b, b+c, c+a το 1-c, 1-a, 1-b.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Αύγ 30, 2018 8:04 pm

Να αποδειχτεί ότι \dfrac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\dfrac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\ge 9\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1} με τις ίδιες συνθήκες.


Bye :')
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 30, 2018 9:29 pm

JimNt. έγραψε:
Πέμ Αύγ 30, 2018 8:04 pm
Να αποδειχτεί ότι \dfrac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\dfrac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\ge 9\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1} με τις ίδιες συνθήκες.
Με τον τρόπο που χρησιμοποίησα παραπάνω φτάνουμε στο:

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 9\sqrt[6]{abc} με a+b+c=1.

Εκτελώντας μια AM-GM στο αριστερό μέλος αρκεί να αποδειχθεί τώρα ότι:

3\sqrt[3]{\dfrac{(1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)}{\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}}}\geq 9\sqrt[6]{abc}\Leftrightarrow (1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)\geq

27\sqrt{abc(a+1)(b+1)(c+1)}

Παρατηρούμε πως (a+1)(b+1)(c+1)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc.

Λόγω του ότι (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca), δηλαδή ab+bc+ca\leq \dfrac{1}{3} και a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}, δηλαδή abc\leq \dfrac{1}{27}, προκύπτει ότι (a+1)(b+1)(c+1)\leq \dfrac{64}{27}.

Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως (1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)\geq 27\sqrt{\dfrac{64}{27}abc}

Παρατηρούμε ακόμα από AM-GM πως 1+a+2b=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+a+b+b\geq 6\sqrt[6]{\dfrac{1}{27}ab^2}

Κάνοντας το ίδιο για τα 1+b+2c και 1+c+2a και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει ότι:

(1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)\geq 6^3\sqrt[6]{\dfrac{1}{27^3}a^3b^3c^3}=6^3\sqrt{\dfrac{1}{27}abc}=8\cdot 27\sqrt{\dfrac{1}{27}abc}=27\sqrt{\dfrac{64}{27}abc} και το ζητούμενο έπεται.

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c=\dfrac{1}{3}, δηλαδή όταν x=y=z=\dfrac{2}{3}.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Αύγ 30, 2018 9:40 pm

:coolspeak: Αν και η ανισότητα είναι ιδιαίτερα αδύναμη η μετατροπή του δεξιού μέλους την καθιστά ωραία.


Bye :')
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης