Ας βρούμε την συνάρτηση

Xriiiiistos · #1

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ώστε για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ να ισχύ (x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)

dement · #2

Θέτοντας

διαπιστώνουμε ότι f(0) = 0

. Διαπιστώνουμε επίσης ότι, αν η

είναι λύση, είναι λύση και η f(x) - ax^2 - bx

για οποιαδήποτε $a, b \in \mathbb{R}$

Θεωρούμε την $g(x) \equiv f(x) - ax^2 - bx$ επιλέγοντας κατάλληλα a, b

έτσι ώστε

. Διαπιστώνουμε (θέτοντας y = 1-x

και

στην αρχική εξίσωση) ότι $g(x) = g(1-x) \wedge g(x) = g(2-x)$ που συνεπάγεται ότι g(x) = g(x+1)

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Θέτοντας τώρα y = x+1

στην αρχική εξίσωση, διαπιστώνουμε ότι η

είναι η μηδενική συνάρτηση.

Άρα, οι λύσεις είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = ax^2 + bx

.