Ας βρούμε την συνάρτηση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ας βρούμε την συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 09, 2018 10:19 am

Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ώστε για κάθε x,y\in \mathbb{R} να ισχύ (x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1381
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ας βρούμε την συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 09, 2018 4:36 pm

Θέτοντας y=0 διαπιστώνουμε ότι f(0) = 0. Διαπιστώνουμε επίσης ότι, αν η f είναι λύση, είναι λύση και η f(x) - ax^2 - bx για οποιαδήποτε a, b \in \mathbb{R}

Θεωρούμε την g(x) \equiv f(x) - ax^2 - bx επιλέγοντας κατάλληλα a, b έτσι ώστε g(0) = g(1) = g(2) = 0. Διαπιστώνουμε (θέτοντας y = 1-x και y = 2-x στην αρχική εξίσωση) ότι g(x) = g(1-x) \wedge g(x) = g(2-x) που συνεπάγεται ότι g(x) = g(x+1) για κάθε x \in \mathbb{R}. Θέτοντας τώρα y = x+1 στην αρχική εξίσωση, διαπιστώνουμε ότι η g είναι η μηδενική συνάρτηση.

Άρα, οι λύσεις είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = ax^2 + bx.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες