Κυβικό τετράγωνο
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κυβικό τετράγωνο
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κυβικό τετράγωνο
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pmΟι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;
Η απάντηση ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κυβικό τετράγωνο
rek2 έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pmΟι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;
Η απάντηση ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;
Re: Κυβικό τετράγωνο
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:27 pmrek2 έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pmΟι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;
Η απάντηση ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Κυβικό τετράγωνο
Βήμα 1ο (μεταφορά της κυβικής): Έστω
Επειδή
με τη μεταφορά
μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε μόνο τις κυβικές της μορφής .
Βήμα 2ο (το κέντρο του τετραγώνου): Η κυβική είναι κεντρικά συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Τότε ''αναγκαστικά'' (θέλει απόδειξη αυτό) το κέντρο του τετραγώνου θα είναι επίσης στην αρχή των αξόνων. Αν λοιπόν το τετράγωνο έχει κορυφές τα σημεία , με θετικές τετμημένες, τότε θα έχει κορυφές και τα συμμετρικά τους ως προς την αρχή των αξόνων , με αρνητικές τετμημένες (βλέπε σχήμα). Βήμα 3ο (υπολογισμός του ): Έστω και με και αντίστοιχα. Από την καθετότητα των , παίρνουμε (Προφανώς το πρέπει να είναι αρνητικό).
Ακόμα, επειδή το είναι η στροφή του κατά , έχουμε ότι , οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η κορυφή (και όλες οι κορυφές) του τετραγώνου βρίσκεται στην τομή της κυβικής με την .
Ας υπολογίσουμε ποιες είναι οι τομές αυτές. Μετά την αντικατάσταση έχουμε:
Θέτοντας η προηγούμενη σχέση γίνεται
Επειδή θέλουμε το ελάχιστον δυνατόν πλήθος λύσεων (ένα τετράγωνο και όχι δύο -βλέπε και δυναμικό σχήμα με το GeoGebra στο τέλος), θα πρέπει
Βήμα 4ο (υπολογισμός της πλευράς του τετραγώνου): Βρίσκουμε το , βρίσκουμε το , άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι και τέλος βρίσκουμε την πλευρά ... Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα...
Επειδή
με τη μεταφορά
μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε μόνο τις κυβικές της μορφής .
Βήμα 2ο (το κέντρο του τετραγώνου): Η κυβική είναι κεντρικά συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Τότε ''αναγκαστικά'' (θέλει απόδειξη αυτό) το κέντρο του τετραγώνου θα είναι επίσης στην αρχή των αξόνων. Αν λοιπόν το τετράγωνο έχει κορυφές τα σημεία , με θετικές τετμημένες, τότε θα έχει κορυφές και τα συμμετρικά τους ως προς την αρχή των αξόνων , με αρνητικές τετμημένες (βλέπε σχήμα). Βήμα 3ο (υπολογισμός του ): Έστω και με και αντίστοιχα. Από την καθετότητα των , παίρνουμε (Προφανώς το πρέπει να είναι αρνητικό).
Ακόμα, επειδή το είναι η στροφή του κατά , έχουμε ότι , οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η κορυφή (και όλες οι κορυφές) του τετραγώνου βρίσκεται στην τομή της κυβικής με την .
Ας υπολογίσουμε ποιες είναι οι τομές αυτές. Μετά την αντικατάσταση έχουμε:
Θέτοντας η προηγούμενη σχέση γίνεται
Επειδή θέλουμε το ελάχιστον δυνατόν πλήθος λύσεων (ένα τετράγωνο και όχι δύο -βλέπε και δυναμικό σχήμα με το GeoGebra στο τέλος), θα πρέπει
Βήμα 4ο (υπολογισμός της πλευράς του τετραγώνου): Βρίσκουμε το , βρίσκουμε το , άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι και τέλος βρίσκουμε την πλευρά ... Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα...
Ειρήνη Περυσινάκη
Re: Κυβικό τετράγωνο
Στην πραγματικότητα θέλουμε η εξίσωση, ως προς z, να έχει μοναδική θετική λύση. Αποκλειόμενης της περίπτωσης με θετική διακρινουσα (θα βρούμε, τελικά, δύο θετικές λύσεις) απομένει Δ = 0 κ.λπ.
Αυτό δεν μειώνει, το αντίθετο θα έλεγα, την λύση...
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες