Κυβικό τετράγωνο

Al.Koutsouridis · #1

Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x^3+ax^2+bx+c

. Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

Η απάντηση $\sqrt{6\sqrt{2}}$ ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;

Al.Koutsouridis · #3

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

Η απάντηση $\sqrt{6\sqrt{2}}$ ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:27 pm

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

Η απάντηση $\sqrt{6\sqrt{2}}$ ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ναι, είναι σωστή

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

iriniper · #5

Βήμα 1ο (μεταφορά της κυβικής): Έστω f(x)=x^3+a*x^2+b*x+c

Επειδή $f(x)-f\left ( -\frac{a}{3} \right )=\left ( x+\frac{a}{3} \right )^3 +\left ( b-\frac{a^2}{3} \right )\left ( x+\frac{a}{3} \right )$
με τη μεταφορά $y=f\left (x-\frac{a}{3}\right )-f\left (-\frac{a}{3} \right )$
μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε μόνο τις κυβικές της μορφής y=x^3+bx

.

Βήμα 2ο (το κέντρο του τετραγώνου): Η κυβική y=x^3+bx

είναι κεντρικά συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Τότε ''αναγκαστικά'' (θέλει απόδειξη αυτό) το κέντρο του τετραγώνου θα είναι επίσης στην αρχή των αξόνων. Αν λοιπόν το τετράγωνο έχει κορυφές τα σημεία

,

με θετικές τετμημένες, τότε θα έχει κορυφές και τα συμμετρικά τους ως προς την αρχή των αξόνων

,

με αρνητικές τετμημένες (βλέπε σχήμα).

: cubic_square.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Βήμα 3ο (υπολογισμός του ): Έστω A(x_1, y_1)

και

με

και

αντίστοιχα. Από την καθετότητα των $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ παίρνουμε $\left ( x_1^2 +b \right )\left (x_2^2 +b \right )=-1$ (Προφανώς το

πρέπει να είναι αρνητικό).
Ακόμα, επειδή το

είναι η στροφή του

κατά $+90^\circ$ , έχουμε ότι x_2^2=y_1^2

, οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται $\left ( x_1^2+b \right )\left (y_1^2+b \right )=-1$
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η κορυφή

(και όλες οι κορυφές) του τετραγώνου βρίσκεται στην τομή της κυβικής y=x^3+bx

με την $\left ( x^2 +b \right )\left (y^2 +b \right )=-1$ .
Ας υπολογίσουμε ποιες είναι οι τομές αυτές. Μετά την αντικατάσταση έχουμε:
$\left ( x^2+b \right )\left (x^2(x^2+b)^2+b \right )=-1$
Θέτοντας z=x^2+b

η προηγούμενη σχέση γίνεται
$z\left ((z-b)z^2+b \right )=-1 \Leftrightarrow$
$z^4-bz^3+bz+1=0 \Leftrightarrow$
$z^2-bz+\frac{b}{z}+\frac{1}{z^2}=0 \Leftrightarrow$
$\left (z-\frac{1}{z} \right )^2 - b\left(z-\frac{1}{z})+2=0$
Επειδή θέλουμε το ελάχιστον δυνατόν πλήθος λύσεων (ένα τετράγωνο και όχι δύο -βλέπε και δυναμικό σχήμα με το GeoGebra στο τέλος), θα πρέπει $\Delta=0\Leftrightarrow b^2-8=0\Rightarrow b=-\sqrt{8}$

Βήμα 4ο (υπολογισμός της πλευράς του τετραγώνου): Βρίσκουμε το $z=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{2}$ , βρίσκουμε το $x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}(3\pm\sqrt{3})$ , άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι $2(x_1^2+y_1^2)=2(x_1^2+x_2^2)=6\sqrt{2}$ και τέλος βρίσκουμε την πλευρά $\sqrt{6\sqrt{2}}$ ... Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα...

#6

iriniper έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 18, 2018 2:34 pm
.....
Επειδή θέλουμε το ελάχιστον δυνατόν πλήθος λύσεων (ένα τετράγωνο και όχι δύο -βλέπε και δυναμικό σχήμα με το GeoGebra στο τέλος), θα πρέπει $\Delta=0\Leftrightarrow b^2-8=0\Rightarrow b=-\sqrt{8}$

....

Στην πραγματικότητα θέλουμε η εξίσωση, ως προς z, να έχει μοναδική θετική λύση. Αποκλειόμενης της περίπτωσης με θετική διακρινουσα (θα βρούμε, τελικά, δύο θετικές λύσεις) απομένει Δ = 0 κ.λπ.

Αυτό δεν μειώνει, το αντίθετο θα έλεγα, την λύση...

Κυβικό τετράγωνο

Κυβικό τετράγωνο

Re: Κυβικό τετράγωνο

Re: Κυβικό τετράγωνο

Re: Κυβικό τετράγωνο

Re: Κυβικό τετράγωνο

Re: Κυβικό τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση