Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $a_{1},a_{2},....a_{m}$ μη αρνητικοί πραγματικοί και

$a_{m+1},a_{m+2},....a_{n}$ μη θετικοί πραγματικοί.

οπου m<n

θετικοί φυσικοί.

Να δειχθεί ότι υπάρχει

$1\leq j\leq n$

ώστε

$\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |\leq \left | \sum_{k=1}^{j}a_{k} \right |$

mikemoke · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 8:35 pm
Εστω $a_{1},a_{2},....a_{m}$ μη αρνητικοί πραγματικοί και

$a_{m+1},a_{m+2},....a_{n}$ μη θετικοί πραγματικοί.

οπου θετικοί φυσικοί.

Να δειχθεί ότι υπάρχει

$1\leq j\leq n$

ώστε

$\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |\leq \left | \sum_{k=1}^{j}a_{k} \right |$

Αν $\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right | \leq 2\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|\Rightarrow \left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right |+ \left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right| \leq 3\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|$
$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a_k| \leq 3\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|$

Aν $\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right | \geq 2\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|$
τότε $\left | \sum_{k=1}^{n}a_k \right |=\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right |-\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right |$
και $\sum_{k=1}^{n}\left | a_k \right |=\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right |+\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right |$
θέτω $a= \sum_{k=1}^{m}a_k$ και $b= \sum_{k=m+1}^{n}a_k$

Aρκεί να δειχθεί ότι $|a|+|b|\leq 3(|b|-|a|)$ αν ισχύει ότι $|b|\geq 2|a|$
$|a|+|b|\leq 3(|b|-|a|)\Rightarrow 4|a|\leq 2|b|\Rightarrow \Rightarrow 2|a|\leq |b|$ που ισχύει.

ksofsa · #3

Αλλη μια λύση.

Θέτω

$P=a_{1}+a_{2}+...+a_{m},Q=a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_{n}, R=P+Q$ .

Από την τριγωνική ανισότητα είναι:

$3max(\left | P \right |,\left | R \right |)\geq 2\left | P \right |+\left | R \right |\geq \left | R-2P \right |=\left | P-Q \right |=\left | a_{1}+a_{2}+...a_{m}-a_{m+1}...-a_{n} \right |=\left | a_{1} \right |+\left | a_{2} \right |+...+\left | a_{n} \right |\Rightarrow max(\left | P \right |,\left | R \right |)\geq \frac{1}{3}(\left | a_{1} \right |+\left | a_{2} \right |+...+\left | a_{n} \right |)$

Αρα για j=m

ή

, ικανοποιείται το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μπράβο και στους δύο.

Στην ουσία είναι ίδια λύση και ίδια με αυτήν που θα γράψω παρακάτω.

$\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |=2\sum_{k=1}^{m}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq 2\left |\sum_{k=1}^{m}a_{k} \right |+\left | \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right |\leq 3 max(\left |\sum_{k=1}^{m}a_{k} \right |,\left | \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right |)$ .

Η άσκηση είναι λήμμα από κάποιο paper.

Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Μέλη σε σύνδεση