Μέγιστο απολύτων τιμών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Δίνονται οι πραγματικοί

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$

όπου $n\geq 2$ φυσικός.

Επίσης είναι $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}> 0$

και $M=max(\left | a_{1} \right |,\left | a_{2} \right |,...\left | a_{n} \right |)$

Να δειχθεί ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς

$\left | a_{1}+a_{2}+...+a_{k}-(a_{k+1}+..+a_{n}) \right |$

με

$1\leq k\leq n-1$

και

$\left | a_{1}+a_{2}+.....+a_{n} \right |$

δεν ξεπερνάει τον

ksofsa

Εστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο.
Μπορώ να θέσω $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$ .

Θέτω $K_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}=1, K_{2}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n},...,K_{n}=a_{1}-a_{2}-...-a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n}-2a_{n-1}-...-2a_{2}$ .

Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση $\frac{\left | x-y \right |+\left | x+y \right |}{2}=max(x,y)$ .

Είναι $\left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=1+\left | 1-2a_{n} \right |=2max(1-a_{n},a_{n}).$

Αν $1-a_{n}\leq a_{n}$ , τότε $\left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=2a_{n}\Rightarrow min(\left | K_{1} \right |,\left | K_{2} \right |)\leq a_{n}\leq M$

άτοπο.

Αρα $1-a_{n}>a_{n}\Leftrightarrow 1-2a_{n}>0\Leftrightarrow K_{2}>0$

Ομοια δείχνω ότι και $K_{3},K_{4},...,K_{n}>0$ .

Αρα $\left | K_{1} \right |+\left | K_{n} \right |=K_{1}+K_{n}=2a_{1}\leq 2M$ .

Οπότε , κάποιος από τους $K_{1},K_{n}$ μικρότερος του M , άτοπο.

Αρα, ισχύει το ζητούμενο.

Χανω πουθενά;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:24 pm
Εστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο.
Μπορώ να θέσω $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$ .

Θέτω $K_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}=1, K_{2}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n},...,K_{n}=a_{1}-a_{2}-...-a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n}-2a_{n-1}-...-2a_{2}$ .

Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση $\frac{\left | x-y \right |+\left | x+y \right |}{2}=max(x,y)$ .

Είναι $\left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=1+\left | 1-2a_{n} \right |=2max(1-a_{n},a_{n}).$

Αν $1-a_{n}\leq a_{n}$ , τότε $\left | K_{1} \right |+\left | K_{2} \right |=2a_{n}\Rightarrow min(\left | K_{1} \right |,\left | K_{2} \right |)\leq a_{n}\leq M$

άτοπο.

Αρα $1-a_{n}>a_{n}\Leftrightarrow 1-2a_{n}>0\Leftrightarrow K_{2}>0$

Ομοια δείχνω ότι και $K_{3},K_{4},...,K_{n}>0$ .

Αρα $\left | K_{1} \right |+\left | K_{n} \right |=K_{1}+K_{n}=2a_{1}\leq 2M$ .

Οπότε , κάποιος από τους $K_{1},K_{n}$ μικρότερος του M , άτοπο.

Αρα, ισχύει το ζητούμενο.

Χανω πουθενά;

Οχι δεν χάνεις.ΜΠΡΑΒΟ ΣΟΥ.
Θα γινόταν λίγο απλούστερο αν έλεγες:
Αν κάποιο $K_{i}=0$ τελειώσαμε.
Αν όλα τα $K_{i}=0$ θετικά πάλι όπως το έκανες έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αν δεν ισχύουν τα παραπάνω τότε θα υπάρχει

με $K_{i}>0,K_{i+1}< 0$
οπότε πάλι ΑΤΟΠΟ όπως το έκανες.

Μέγιστο απολύτων τιμών

Μέγιστο απολύτων τιμών

Re: Μέγιστο απολύτων τιμών

Re: Μέγιστο απολύτων τιμών

Μέλη σε σύνδεση