Συναρτησιακή από Ινδία

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Συναρτησιακή από Ινδία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Μάιος 28, 2017 10:23 am

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x^2+yf(x))=xf(x+y)


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ

Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Μάιος 28, 2017 12:20 pm

Θα βάλω σε hide της λύσεις και την λύση μου πολύ σύντομα .


thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Μάιος 28, 2017 1:02 pm

Αυτές βρήκα και εγώ


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Μάιος 28, 2017 2:01 pm

Διάβασα άλλην εκφώνηση και έλυσα άλλη άσκηση, αρκετά δυσκολότερη...

Θα ανεβάσω την άσκηση σε άλλο post.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Κυρ Μάιος 28, 2017 5:11 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Μάιος 28, 2017 4:17 pm

Καλησπέρα Χάρη,
Μπορείς πιο απλά να παρατηρήσεις ότι για x:=a έχουμε af(y+a)=0 και άρα αν f(y)\not\equiv 0 θα έχουμε a=0. Και από εκεί και πέρα με την τελευταία αντικατάσταση που έκανες παίρνουμε και την δεύτερη λύση της συναρτησιακής.
τελευταία επεξεργασία από thrassos σε Κυρ Μάιος 28, 2017 6:54 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 28, 2017 6:39 pm

thrassos έγραψε:για y:=a έχουμε af(x+a)=0
Πώς ακριβώς βγαίνει αυτό; Πρώτα από όλα μάλλον εννοείς xf(x+a)=0, αλλά το ερώτημα είναι πώς βγήκε η παράσταση ίση με 0;


thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Μάιος 28, 2017 6:53 pm

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου,
Καταρχάς να σημειώσω πως υπάρχει τυπογραφικό και αντί για y:=a έπρεπε να είναι x:=a.
Τώρα, αν δεν κάνω λάθος προκύπτει ότι af(y+a)=0 αφού f(a^2)=0


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 28, 2017 8:25 pm

thrassos έγραψε: αφού f(a^2)=0
Και αυτό από που προκύπτει; Αυτό που βλέπω να προκύπτει είναι το f(a^2)=af(a)


thrassos
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2016 8:06 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thrassos » Κυρ Μάιος 28, 2017 9:01 pm

Έχουμε υποθέσει ότι f(a)=0.
Για λόγους όμως διευκόλυνσης της συζήτησης παραθέτω την λύση μου, και με τα χαράς να ακούσω τις παρατηρήσεις που ίσως να προκύψουν.
Αρχικά, x:=0,y:=0 : f(0)=0.
Στη συνέχεια, για y:=0 θα προκύψει f(x^2)=xf(x) (1).
Για x:=-y παίρνουμε ότι f(y^2+yf(-y))=0 και από την (1) η τελευταία γίνεται f(y^2-f(y^2))=0 (2).
Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχει a\neq 0 τέτοιο ώστε f(a)=0.
Όμως για x:=a,y:=0 η αρχική γίνεται f(a^2)=0.
Για x:=a η αρχική ,τώρα , γίνεται f(a^2)=af(a+y) ισοδύναμα af(a+y)=0.
Από την τελευταία έχουμε a=0 ή f(a+y)=0.
Aν, όμως , f(x)\not\equiv0 τότε a=0 και άρα από την (1) και την (2) θα πάρουμε την άλλη λύση , f(x)\equiv x.


Θρασύβουλος Οικονόμου
Φοιτητής ΗΜΜΥ ΑΠΘ
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6098
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιουν 01, 2017 2:27 am

Παραλλαγή:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε f(x^2+yf(x))=xf(x+y)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1295
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιουν 03, 2017 11:23 am

Αυτή μου φάνηκε πιο δύσκολη, εκτός αν χάνω κάτι. Βάζω τα βασικά βήματα τα οποία αφήνω προς απόδειξη για να ασχοληθεί περισσότερο κάποιος με την άσκηση. Αν εντοπιστεί κάποιο λάθος πείτε μου.

Βήμα 1: Δείχνουμε ότι αν x>1 τότε πρέπει f(x)>1 και ότι αν χ<1 τότε f(x)<1.

Βήμα 2: Έστω x<1 τότε για y=\frac{x-x^2}{f(x)} παίρνουμε \displaystyle f(x)=xf\left(\frac{xf(x)+x-x^2}{f(x)}\right)
και από το Βήμα 1 δείχνουμε ότι αν f(x)\neq x έχουμε άτοπο. Επομένως f(x)=x για κάθε 0<x\leq 1.

Βήμα 3: Για x=y παίρνουμε f(x^2+xf(x))=xf(2x). Αν τώρα x\leq 1 έχουμε ότι f(2x^2)=xf(2x). Αν θέλουμε τώρα 2x^2\leq 1 δηλαδή x\leq\frac{\sqrt{2}}{2} τότε f(2x)=2x, δηλαδή f(s)=s για κάθε 0<s\leq\sqrt{2}. Επεκτείναμε δηλαδή το διάστημα που ισχύει η f(x)=x.
Με επαγωγή και όμοια με παραπάνω δείχνουμε ότι f(s)=s για κάθε 0<s\leq 2^n\sqrt{2}. Αφού ισχύει για κάθε n, έχουμε ότι f(x)=x για κάθε x>0.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6098
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 03, 2017 3:37 pm

silouan έγραψε:Αυτή μου φάνηκε πιο δύσκολη, εκτός αν χάνω κάτι. Βάζω τα βασικά βήματα τα οποία αφήνω προς απόδειξη για να ασχοληθεί περισσότερο κάποιος με την άσκηση. Αν εντοπιστεί κάποιο λάθος πείτε μου.

Βήμα 1: Δείχνουμε ότι αν x>1 τότε πρέπει f(x)>1 και ότι αν χ<1 τότε f(x)<1.

Βήμα 2: Έστω x<1 τότε για y=\frac{x-x^2}{f(x)} παίρνουμε \displaystyle f(x)=xf\left(\frac{xf(x)+x-x^2}{f(x)}\right)
και από το Βήμα 1 δείχνουμε ότι αν f(x)\neq x έχουμε άτοπο. Επομένως f(x)=x για κάθε 0<x\leq 1.

Βήμα 3: Για x=y παίρνουμε f(x^2+xf(x))=xf(2x). Αν τώρα x\leq 1 έχουμε ότι f(2x^2)=xf(2x). Αν θέλουμε τώρα 2x^2\leq 1 δηλαδή x\leq\frac{\sqrt{2}}{2} τότε f(2x)=2x, δηλαδή f(s)=s για κάθε 0<s\leq\sqrt{2}. Επεκτείναμε δηλαδή το διάστημα που ισχύει η f(x)=x.
Με επαγωγή και όμοια με παραπάνω δείχνουμε ότι f(s)=s για κάθε 0<s\leq 2^n\sqrt{2}. Αφού ισχύει για κάθε n, έχουμε ότι f(x)=x για κάθε x>0.

Πολύ ωραία Σιλ! Ευχαριστώ για την ενασχόληση!

Δύο σχόλια:
-- Στο Βήμα 1 νομίζω έχουμε: αν x>1 τότε f(x)\geq 1 (δεν επηρεάζει βέβαια τη λύση πιο κάτω)

-- Στο Βήμα 3 έχουμε f(x^2+(y-x)f(x))=xf(y) για κάθε y>x>0. Αν θεωρήσουμε y>1>x τότε \displaystyle{f(xy)=xf(y)} και για x=1/(2y) τελικά f(y)=y.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1295
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιουν 03, 2017 8:26 pm

Θανάση, ήταν ωραίο πρόβλημα! :D
Χάρηκα που είχα κάνει το βήμα 3, αλλά εσύ το κάνεις καλύτερα ;)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης