Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Να προσδιοριστούν όλα τα πολυώνυμα που είναι τέτοια, ώστε: , .
The road to success is always under construction
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Αρχικά 2 προφανείς λύσεις είναι οι καιnikos_el έγραψε:Να προσδιοριστούν όλα τα πολυώνυμα που είναι τέτοια, ώστε: , .
Έστω μία ρίζα του τότε από τη δοθείσα σχέση βλέπουμε πως και είναι ρίζα του .Άρα για να μην έχουμε άπειρες ρίζες θα πρέπει .Όμως παρατηρούμε ακόμα πως και η είναι ρίζα του .Άρα θα πρέπει να απορρίψουμε και τις περιπτώσεις και γιατί οδηγούμαστε σε άπειρες ρίζες πάλι.
Άρα θα πρέπει και άρα που όμως ικανοποιεί την αρχική σχέση μόνο αν ή άρα η απάντηση είναι κάθε πολυώνυμο της μορφής , όπου θετικός ακέραιος, ή ή .
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Re: Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Ανδρέα, απέδειξες ότι η μοναδική πραγματική ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες μπορεί να είναι το .
Από εκεί χρειάζεται περαιτέρω δικαιολόγηση για να συμπεράνουμε ότι μόνο τα είναι μη μηδενικές λύσεις.
Από εκεί χρειάζεται περαιτέρω δικαιολόγηση για να συμπεράνουμε ότι μόνο τα είναι μη μηδενικές λύσεις.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Ισχύει και Έστω ρίζα του πολυωνύμου.
Τότε ρίζες είναι και τα . Επειδή το πολυώνυμο δε μπορεί να έχει άπειρες ρίζες, υπάρχουν φυσικοί ώστε
()
Από τη δεύτερη σχέση φαίνεται ότι και το είναι ρίζα του πολυωνύμου, οπότε από την () προκύπτει
Προφανώς πρέπει να ισχύει Θέτοντας βλέπουμε ότι δηλαδή Άρα
Με αντικατάσταση στην αρχική βρίσκουμε άρα
Αυτό μαζί με τα σταθερά είναι οι μόνες λύσεις.
Τότε ρίζες είναι και τα . Επειδή το πολυώνυμο δε μπορεί να έχει άπειρες ρίζες, υπάρχουν φυσικοί ώστε
()
Από τη δεύτερη σχέση φαίνεται ότι και το είναι ρίζα του πολυωνύμου, οπότε από την () προκύπτει
Προφανώς πρέπει να ισχύει Θέτοντας βλέπουμε ότι δηλαδή Άρα
Με αντικατάσταση στην αρχική βρίσκουμε άρα
Αυτό μαζί με τα σταθερά είναι οι μόνες λύσεις.
Μάγκος Θάνος
Re: Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Περιέργεια (που φυσικά δεν ήθελα να εκφράσω πριν): Η ύλη του Αρχιμήδη περιλαμβάνει μιγαδικούς και Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας;
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πολυωνυμική συναρτησιακή εξίσωση
Επίσημα ναι. Από την σελίδα της Ε.Μ.Ε. "Εξεταστέα ύλη για τον τρίτο διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" και τον «Προκριματικό διαγωνισμό» θεωρείται η ύλη των Διεθνών Μαθηματικών Ολυμπιάδων"dement έγραψε:
Περιέργεια (που φυσικά δεν ήθελα να εκφράσω πριν): Η ύλη του Αρχιμήδη περιλαμβάνει μιγαδικούς και Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας;
Προσωπικά θα προτιμούσα η ύλη μέχρι και τον Αρχιμήδη να είναι η σχολική, με την ευρεία έννοια της, ότι δηλαδή περιέχεται στα σχολικά βιβλία. Ανεξαρτήτως το τί είναι στην ύλη (και ακόμα γενικότερα θα πρέπει να διδάσκεται όλη η ύλη του σχολικού βιβλίου).
Τα θέματα μέχρι και τον Αρχιμήδη θα πρέπει να είναι τέτοια έτσι ώστε να εκμηδενίζεται το πλεονέκτημα του μαθητή που γνωρίζει εξωσχολική ύλη.
Από τον Αρχιμήδη και ύστερα (1ος , 2ος προκριματικός) όπου οι σκοποί διαφοροποιούνται η ύλη θα μπορούσε και θα έπρεπε να είναι η "ολυμπιακή".
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες