Έστω
η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Έχουμε ότι:
και
οπότε
Άρα, για κάθε

είναι:
και

.
Από τη σχέση

προκύπτει ότι η

είναι 1-1. Θέτοντας στη σχέση

όπου

το

βρίσκουμε ότι για κάθε

είναι:
δηλαδή
για κάθε
Από τη σχέση

προκύπτει ότι για κάθε

ισχύει
Υποθέτουμε ότι υπάρχουν μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί

τέτοιοι, ώστε

και

Τότε
και

.
Διακρίνουμε τέσσερις περιπτώσεις:

Αν

και

τότε η σχέση

δίνει ότι:
πράγμα άτοπο.

Αν

και

τότε η σχέση

δίνει ότι:
πράγμα άτοπο.

Αν

και

τότε η σχέση

δίνει ότι:
πράγμα άτοπο.

Απομένει η περίπτωση

και

οπότε η σχέση

δίνει ότι:
που δεν οδηγεί άμεσα σε άτοπο!
Τώρα χρησιμοποιούμε τη σχέση

: Έχουμε δύο περιπτώσεις:

Αν

τότε η σχέση

δίνει ότι:
πράγμα άτοπο.

Αν

τότε η σχέση

δίνει ότι:
που είναι και πάλι άτοπο!
Ώστε, οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι

και
