Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11795
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 13, 2016 1:49 pm

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : \mathbb N^*\rightarrow \mathbb N^* με την ιδιότητα: Όποτε οι m,n, \frac {mn}{m+n} είναι και οι τρεις θετικοί φυσικοί, τότε ισχύει

\displaystyle{ \frac {f(m)f(n)}{f(m)+f(n)}=  f \left (\frac {mn}{m+n}\right ) }



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8307
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 16, 2016 4:45 pm

Έστω r \in \mathbb{N}^{\ast}. Τότε εύκολα ελέγχουμε ότι η f(n) = rn για n \in \mathbb{N}^{\ast} είναι λύση. Θα δείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες.

Αρκεί να δείξω ότι για κάθε a,b \in \mathbb{N} ισχύει ότι f(ab) = af(b). Ασφαλώς αν το δείξω αυτό τότε τελείωσα αφού αν θέσω r = f(1) τότε f(n) = f(n \cdot 1) = nf(1) = rn για κάθε n \in \mathbb{N}^{\ast}.

Θα δείξω το πιο πάνω με επαγωγή στο a. Ασφαλώς ισχύει για a=1. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για a=k.

Θέτω m = (k+1)b, n = k(k+1)b. Τότε από την επαγωγική υπόθεση είναι f(n) = kf(m). Επίσης \displaystyle{ \frac{mn}{m+n} = \frac{k(k+1)^2b^2}{(k+1)^2b} = kb.}

Άρα παίρνουμε

\displaystyle{ kf(b) = f(kb) = \frac{f(m)f(n)}{f(m) + f(n)} = \frac{kf(m)^2}{(k+1)f(m)} = \frac{kf(m)}{k+1}.}

Δηλαδή

\displaystyle{ f((k+1)b) = f(m) = (k+1)f(b)}

όπως θέλαμε να δείξουμε.

Άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης