Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 07, 2016 10:59 am

Να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν \displaystyle{\frac{{{s^2} - {r^2}}}{{4Rr}} + \frac{r}{R} = \frac{7}{2}}, όπου s η ημιπερίμετρος,

r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
Προβληματίστηκα για τον φάκελο, αν θα έμπαινε σε Άλγεβρα ή Γεωμετρία. Αν υπήρχε φάκελος "Γενικά- προχωρημένο επίπεδο juniors", νομίζω ότι θα ταίριαζε καλύτερα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6199
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Οκτ 07, 2016 10:56 pm

george visvikis έγραψε:Να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν \displaystyle{\frac{{{s^2} - {r^2}}}{{4Rr}} + \frac{r}{R} = \frac{7}{2}}, όπου s η ημιπερίμετρος,

r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
Προβληματίστηκα για τον φάκελο, αν θα έμπαινε σε Άλγεβρα ή Γεωμετρία. Αν υπήρχε φάκελος "Γενικά- προχωρημένο επίπεδο juniors", νομίζω ότι θα ταίριαζε καλύτερα.
Νομίζω το δεξί μέλος πρέπει να γίνει \displaystyle{\frac{15}{4}.}

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι

\displaystyle{\frac{{{s^2} - {r^2}}}{{4Rr}} + \frac{r}{R} = \frac{15}{4},} δηλαδή \displaystyle{\boxed{s^2=15Rr-3r^2}.}

Το ζητούμενο είναι συνέπεια των εξής "γνωστών" αποτελεσμάτων:

\displaystyle{\bullet} Ισχύει σε κάθε τρίγωνο \displaystyle{s^2\geq 16Rr-5r^2} (\displaystyle{\color{red}\bigstar})

\displaystyle{\bullet} Ισχύει σε κάθε τρίγωνο \displaystyle{R\geq 2r} και η ισότητα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Μάλιστα η (\displaystyle{\color{red}\bigstar}) είναι η λεγόμενη ανισότητα Finsler-Hadwiger.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 08, 2016 12:36 am

Γεια σου Θάνο, γεια σε όλους!

Κατ' αρχήν να ζητήσω συγνώμη από όλους για την ταλαιπωρία. Μου έστειλε π. μ και ο Δημήτρης (Demetres), με την ίδια σκέψη που έκανε

και ο Θάνος, δηλαδή αλλαγή του \displaystyle{\frac{7}{2}} σε \displaystyle{\frac{{15}}{4}}. Και όντως ταιριάζει. Αλλά είναι διαφορετική άσκηση από αυτή που ήθελα να βάλω.

Πράγματι υπάρχει τυπογραφικό, αλλά στον αριθμητή του πρώτου κλάσματος. Το σωστό είναι: \boxed{\frac{{{s^2} - {3r^2}}}{{4Rr}} + \frac{r}{R} = \frac{7}{2}}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6199
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Οκτ 08, 2016 10:01 am

Γεια σου Γιώργο!

Ας δούμε και μια αντιμετώπιση με το νέο δεδομένο.

Δίνεται ότι \displaystyle{s^2+r^2=14Rr.} (\displaystyle{\color{red}\maltese})

Φυσικά, με χρήση των ανισοτήτων που αναφέρω παραπάνω, το ζητούμενο προκύπτει αμέσως. Τώρα όμως είναι πιο εύκολη και μια αυτοδύναμη απόδειξη.

Η (\displaystyle{\color{red}\maltese}) γράφεται (πολλαπλασιάζω με \displaystyle{16s^2})

\displaystyle{16s^4+16E^2=28\cdot 2s\cdot 4srR,} όπου \displaystyle{E} το εμβαδόν του τριγώνου.

Δηλαδή είναι

\displaystyle{(a+b+c)^4+(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=28abc(a+b+c)}

και τελικά

\displaystyle{(a+b+c)^3+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=28abc.} (\displaystyle{\color{red}\clubsuit})

Επειδή \displaystyle{a,b,c} είναι πλευρές τριγώνου, υπάρχουν \displaystyle{x,y,z>0,} ώστε \displaystyle{\begin{cases}a+b-c=z, \\ b+c-a=x, \\ c+a-b=y\end{cases}} άρα \displaystyle{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}, \\ b=\frac{z+x}{2}, \\ c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}.

Τώρα η (\displaystyle{\color{red}\clubsuit}) γράφεται

\displaystyle{(x+y+z)^3+xyz=\frac{7}{2}(x+y)(y+z)(z+x),}

και επειδή ισχύει \displaystyle{(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x),}

\displaystyle{2(χ^3+y^3+z^3)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x).}

Αναπτύσσοντας το δεξί μέλος βρίσκουμε

\displaystyle{2 x^3-x^2 y-x^2 z-x y^2-x z^2+2 y^3-y^2 z-y z^2+2 z^3=0.}

Αυτή τη γράφουμε

\displaystyle{(x^3+y^3-x^2y-xy^2)+(y^3+z^3-y^2z-yz^2)+(z^3+x^3-z^2x-zx^2)=0}

και παρατηρούμε ότι

\displaystyle{m^3+n^3-m^2n-mn^2=(m+n)(m-n)^2\geq 0} με την ισότητα αν και μόνο αν \displaystyle{m=n}, για \displaystyle{m,n>0.}

Άρα από την προηγούμενη ισότητα προκύπτει \displaystyle{x=y=z} και τελικά \displaystyle{a=b=c.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Οκτ 08, 2016 10:33 am

matha έγραψε:Τώρα όμως είναι πιο εύκολη και μια αυτοδύναμη απόδειξη.
Όντως. Στην διόρθωση με το 15/4 και τις κλασικές αντικαταστάσεις που έκανε ο Θάνος (αν δεν έκανα λάθος στις πράξεις) κατέληξα στο

\displaystyle{ 4\sum x^3 + 6xyz = 3\sum xy(x+y)}

Όμως από Schur έχουμε

\displaystyle{ 2\sum x^3 + 6xyz \geqslant 2\sum xy(x+y)}

και από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

\displaystyle{ 2\sum x^3 \geqslant \sum xy(x+y)}

Ελέγχοντας τις περιπτώσεις τις ισότητας καταλήγουμε στην x=y=z που δίνει a=b=c.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 08, 2016 4:39 pm

Μία διαφορετική προσέγγιση.

Έστω E το εμβαδόν του τριγώνου και \displaystyle{\frac{{{s^2} - {3r^2}}}{{4Rr}} + \frac{r}{R} = \frac{7}{2}}

\displaystyle{\frac{{{s^2} - 3{r^2}}}{{4Rr}} + \frac{r}{R} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow } \displaystyle{\frac{{{s^2} - \frac{{3{E^2}}}{{{s^2}}}}}{{\frac{{abc}}{E} \cdot \frac{E}{s}}} + \frac{{\frac{E}{s}}}{{\frac{{abc}}{{4E}}}} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow } \displaystyle{\frac{{{s^4} - 3{E^2}}}{{abcs}} + \frac{{4{E^2}}}{{abcs}} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\frac{{{s^3} + (s - a)(s - b)(s - c)}}{{abc}} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow ...(a + b + c)(ab + bc + ca) = 9abc \Leftrightarrow (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 9}

Αλλά \displaystyle{(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geqslant 9}, με την ισότητα να ισχύει μόνο αν a=b=c, άρα το ABC είναι ισόπλευρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης