Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Ανισότητα από Mathematical Inequalities

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Πέμ Αύγ 15, 2019 12:54 am

Αν x,y,z>0 πραγματικοί αριθμοί ώστε x+y+z =3 , τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2  + y^2 + z^2 )}.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Αύγ 15, 2019 2:19 am

polysot έγραψε:
Πέμ Αύγ 15, 2019 12:54 am
Αν x,y,z>0 πραγματικοί αριθμοί ώστε x+y+z =3 , τότε να αποδειχθεί ότι:
\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2  + y^2 + z^2 )}.
Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται:

f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0 που είναι γραμμική ως προς w^3 οπότε αρκεί να ελέγξουμε την ανισότητα όταν δύο μεταβλητές είναι ίσες. Έστω λοιπόν y=z οπότε x=3-2y με y<\frac {3}{2}. Αρκεί:

8[2(3-2y)+y]+9(3-2y)y\geq 10[(3-2y)^2+2y^2](3-2y)y \Leftrightarrow (2y-1)^2\geq 0 που ισχύει.

Ισότητα αν και μόνον αν x=2,y=z=\frac {1}{2} και για τις κυκλικές της.

(*) 3u=x+y+z,3v=xy+yz+zx,w^3=xyz


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 15, 2019 2:42 am

Για το πρώτο σκέλος μπορούμε εναλλακτικά να παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση \displaystyle \frac{8}{x} - 10 x^2 έχει μοναδικό σημείο καμπής (από κυρτή σε κοίλη) και έτσι η παράσταση ελαχιστοποιείται για ισότητα των δύο μικρότερων από τα x, y, z.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης