Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Συντονιστής: xr.tsif
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Δίνεται η συνάρτηση . Να βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε δύο διαφορετικά σημεία.
Σχόλιο: Η άσκηση τυπικά λύνεται με την ύλη της Γενικής Παιδείας. 'Εχει όμως κάποια δύσκολα σημεία που θα την τοποθετούσαν στην θεματική της Κατεύθυνσης. Ωστόσο είναι χρήσιμη για να κινήσει το ενδιαφέρον των ικανών μαθητών είτε σε ατομική προσπάθεια είτε για δουλειά στην τάξη
Μαυρογιάννης
Σχόλιο: Η άσκηση τυπικά λύνεται με την ύλη της Γενικής Παιδείας. 'Εχει όμως κάποια δύσκολα σημεία που θα την τοποθετούσαν στην θεματική της Κατεύθυνσης. Ωστόσο είναι χρήσιμη για να κινήσει το ενδιαφέρον των ικανών μαθητών είτε σε ατομική προσπάθεια είτε για δουλειά στην τάξη
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Νίκο,
μήπως είναι πιο ενδιαφέρον να τροποποιηθεί λίγο η εκφώνηση;
Να αποδειχθεί ότι μόνο μία ευθεία είναι εφαπτομένη της Cr σε δύο διαφορετικά σημεία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
μήπως είναι πιο ενδιαφέρον να τροποποιηθεί λίγο η εκφώνηση;
Να αποδειχθεί ότι μόνο μία ευθεία είναι εφαπτομένη της Cr σε δύο διαφορετικά σημεία.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
1ος τρόπος:nsmavrogiannis έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση . Να βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε δύο διαφορετικά σημεία.
Είναι . Η ευθεία που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της σε δυο διαφορετικά σημεία είναι προφανώς ο -άξονας. Συνεπώς, η ζητούμενη ευθεία είναι η .
2ος τρόπος:
Η ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης το πολύ σε δυο σημεία αν και μόνο αν η γραφική παράσταση του πολυωνύμου τέμνει τον -άξονα σε δυο σημεία, δηλαδή, το πολυώνυμο έχει δυο πολλαπλές ρίζες. Εφόσον είναι βαθμού τέσσερα, η πολλαπλότητα κάθε ρίζας είναι δυο, κι άρα δεν υπάρχουν άλλες ρίζες. Αν οι ρίζες είναι , , τότε είναι .
Κάνοντας τις πράξεις στο δεύτερο μέλος
κι εξισώνοντας τους αντίστοιχους συντελεστές παίρνουμε
(1)
(2)
(3)
(4)
Από (1), (3) έπεται ότι κι από (1), (2), ότι , που σε συνδυασμό με την (4) δίνει .
Συνεπώς, η (μόνη) ζητούμενη ευθεία είναι η .
Παρατήρηση: Τουλάχιστον ακόμη ένας τρόπος μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας παραγώγους. Δείτε και το παρόμοιο πρόβλημα Β3470 του KoMal http://www.komal.hu/lap/2002-ang/b3470.e.shtml
Φιλικά,
Αχιλλέας
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Ανδρέα νομίζω ότι δεν κερδίζουμε κάτι. Από την διαδικασία εύρεσης προκύπτει και η μοναδικότητα.Ανδρέας Πούλος έγραψε: μήπως είναι πιο ενδιαφέρον να τροποποιηθεί λίγο η εκφώνηση;
Να αποδειχθεί ότι μόνο μία ευθεία είναι εφαπτομένη της Cr σε δύο διαφορετικά σημεία.
Αχιλλέα δυστυχώς στο συγκεκριμένο πλαίσιο συζήτησης (Μαθηματικά Γ' Τάξης) η προσέγγιση με παραγώγους είναι και ο μοναδικός πρόσφορος τρόπος αφού τα παιδιά δεν γνωρίζουν την σύνδεση του σημείου επαφής με την πολλαπλότητα ρίζας. Αν δεν δοθεί από κάποιον άλλο θα επανέλθω.achilleas έγραψε:Παρατήρηση: Τουλάχιστον ακόμη ένας τρόπος μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας παραγώγους.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Νίκο, πράγματι, ο 2ος τρόπος είναι "εκτός" λυκείου, αλλά ο 1ος, με λίγες περισσότερες λεπτομέρειες ίσως, νομίζω πως είναι εντός, έτσι δεν είναι;
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Αχιλλέα έτσι είναι. Τυπικά μιλώντας μπορούμε να πούμε ότιachilleas έγραψε:Νίκο, πράγματι, ο 2ος τρόπος είναι "εκτός" λυκείου, αλλά ο 1ος, με λίγες περισσότερες λεπτομέρειες ίσως, νομίζω πως είναι εντός, έτσι δεν είναι;
"Είναι " και να συνεχίσουμε αποδεικνύοντας ότι η είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στα σημεία
Μια τέτοια λύση μπορούμε να την δώσουμε εμείς γιατί ξέρουμε κάποιες πληροφορίες που συμπυκνώνονται στο "Λήμμα"
Αν με παραγωγίσιμες και είναι μια οποιαδήποτε ρίζα της τότε η είναι εφαπτομένη της στο σημείο
που αποδεικνύεται σε δυο σειρές: Η διέρχεται από το και έχει την σωστή κλίση αφού με παραγώγιση βρίσκουμε .
Από πλευράς απόδειξης θα έχουμε δίκιο αλλά θα πρόκειται για μια λύση που μάλλον δύσκολα θα πέρναγε από το μυαλό ενός μαθητή.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 67
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 8:23 pm
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Καλημέρα,
μια σχολική αντιμετώπιση:
Έστω a, b οι τετμημένες των σημείων με την κοινή εφαπτομένη. Τότε ab και για την κοινή εφαπτομένη ε ισχύει (τύπος σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης):
y=r'(a)x+r(a)-ar'(a)r'(b)x+r(b)-br'(b).
Ισοδύναμα έχουμε r'(a)=r'(b) και r(a)-ar'(a)=r(b)-br'(b).
Ισοδύναμα από την πρώτη έχουμε, μετά από λίγες πράξεις, και από την δεύτερη (ελπίζω να απέφυγα αριθμητικά λάθη).
Από την τελευταία ισοδύναμα προκύπτει (αφού ab) ότι b=-a
και τελικά οι τετμημένες προκύπτουν .
Με αντικατάσταση στην εξίσωση της ε προκύπτει τελικά ε:y=-3x-4.
Αποστόλης
μια σχολική αντιμετώπιση:
Έστω a, b οι τετμημένες των σημείων με την κοινή εφαπτομένη. Τότε ab και για την κοινή εφαπτομένη ε ισχύει (τύπος σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης):
y=r'(a)x+r(a)-ar'(a)r'(b)x+r(b)-br'(b).
Ισοδύναμα έχουμε r'(a)=r'(b) και r(a)-ar'(a)=r(b)-br'(b).
Ισοδύναμα από την πρώτη έχουμε, μετά από λίγες πράξεις, και από την δεύτερη (ελπίζω να απέφυγα αριθμητικά λάθη).
Από την τελευταία ισοδύναμα προκύπτει (αφού ab) ότι b=-a
και τελικά οι τετμημένες προκύπτουν .
Με αντικατάσταση στην εξίσωση της ε προκύπτει τελικά ε:y=-3x-4.
Αποστόλης
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Eφαπτομένη σε δύο σημεία
Αποστόλη οι πράξεις μας συμφωνούν εκτός από ένα σημείο. Μου προκύπτει7apostolis έγραψε:Ισοδύναμα έχουμε r'(a)=r'(b) και r(a)-ar'(a)=r(b)-br'(b).
Ισοδύναμα από την πρώτη έχουμε, μετά από λίγες πράξεις, και από την δεύτερη (ελπίζω να απέφυγα αριθμητικά λάθη).
Από την τελευταία ισοδύναμα προκύπτει (αφού ab) ότι b=-a
και τελικά οι τετμημένες προκύπτουν .
και επομένως πριν καταλήξουμε στο ότι χρειάζεται να αποκλείσουμε την περίπτωση
Αυτό προσθέτει μια επιπλέον δυσκολία στα παιδιά. Εμείς οι μεγάλοι εύκολα θα δούμε ότι
από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει
και επομένως
δηλαδή
που απορρίπτεται.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες