Ανίσωση με τον e

Xriiiiistos · #1

ο

είναι ο

, $k\in \mathbb{N}^{*}$ και k>1

να αποδείξετε

$e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k-1}(e^{i}+2i^{2})$

ισχύ και το $e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k}(e^{i}+4i^{2})$ ;

#2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 18, 2018 11:06 am
ο είναι ο , $k\in \mathbb{N}^{*}$ και να αποδείξετε

$e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k-1}(e^{i}+2i^{2})$

ισχύ και το $e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k}(e^{i}+4i^{2})$ ;

Χρήστο προσοχή:

1) Το ρήμα είναι "ισχύω", οπότε λέμε "ισχύω - ισχύεις - ισχύει". Το ίδιο σχόλιο για την λέξη "ισχύ" εδώ και εδώ

2) Για k=2

το αριστερό μέλος της τελευταίας είναι $e^{3}+e^{2}\approx 27,4$ ενώ $e+e^2+4 +16 \approx 30,1$ , που είναι μεγαλύτερο.

#3

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 18, 2018 11:06 am
ο είναι ο , $k\in \mathbb{N}^{*}$ και να αποδείξετε

$e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k-1}(e^{i}+2i^{2})$

Ισοδύναμα $\displaystyle{e^{k+1}+e^{k} - \frac {e^k-e}{e-1}>2\sum_{i=1}^{k-1}i^{2}}$ , δηλαδή $\displaystyle{e^{k}\cdot \frac {e^2-2}{e-1}+ \frac {e}{e-1}>2\sum_{i=1}^{k-1}i^{2}}$ .

Θα δείξουμε την ισχυρότερη $\displaystyle{e^{k}\cdot \frac {e^2-2}{e-1}+ \frac {e}{e-1}> \frac {51}{20} \sum_{i=1}^{k-1}i^{2}= \frac {17}{20}k^3-\frac {51}{40}k^2+\frac {51}{120}k}$

Είναι $\displaystyle{ \frac {e^2-2}{e-1} \approx 3,1}$ , πάντως

, και $\displaystyle{ \frac {e}{e-1}>0}$ .

Επίσης για $k\ge 2$ είναι $\displaystyle{e^k > 1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {k^3}{3!} + \frac {k^4}{4!}+ \frac {k^5}{5!} > 1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {k^3}{3!} + \frac {2k^3}{4!}+ \frac {4k^3}{5!} = 1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {17k^3}{60}.}$

Άρα

$\displaystyle{e^{k}\cdot \frac {e^2-2}{e-1}+\frac {e}{e-1} > 3e^{k} + 0 > 3\left (1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {17k^3}{60} \right ) = \frac {17k^3}{20} + \frac {3k^2}{2} + 3k + 3}$ .

To τελευταίο είναι με περίσσευμα $\displaystyle{ > \frac {17}{20}k^3-\frac {51}{40}k^2+\frac {51}{120}k}$ (συγκρίνοντας όρο προς όρο) , όπως θέλαμε.

Ανίσωση με τον e

Ανίσωση με τον e

Re: Ανίσωση με τον e

Re: Ανίσωση με τον e

Μέλη σε σύνδεση