Μια κατασκευή...
Συντονιστής: xr.tsif
Μια κατασκευή...
Θεωρούμε την πραγματική σταθερά και τη συνάρτηση , για την οποία ισχύει , για κάθε .
A. Να δείξετε ότι και να εξετάσετε αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.
Β. Να υπολογίσετε το .
Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο , με , και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση . Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ , ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.
Δ. Να δείξετε ότι για κάθε , με , ισχύει η σχέση .
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μια κατασκευή...
Α. H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση παραγωγίσιμων με .M.S.Vovos έγραψε:
Θεωρούμε την πραγματική σταθερά και τη συνάρτηση , για την οποία ισχύει , για κάθε .
A. Να δείξετε ότι και να εξετάσετε αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.
Β. Να υπολογίσετε το .
Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο , με , και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση . Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ , ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.
Δ. Να δείξετε ότι για κάθε , με , ισχύει η σχέση .
Φιλικά,
Μάριος
H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση παραγωγίσιμων με .
Συνεπώς από τη σχέση προκύπτει ότι:
.
Για έχουμε και .
Συνεπώς , οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο , άρα δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Β. Για κοντά στο έχουμε:
.
Γ.Έχουμε ότι ,
οπότε η ζητούμενη εξίσωση εφαπτομένης είναι: .
Για έχουμε .
Για έχουμε .
Επομένως για έχουμε:
.
Δ. Ισχύει (αυτό χρειάζεται απόδειξη ).
Τότε θέτοντας όπου το βρίσκουμε .
Επομένως:
και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
.
Επιπλέον για ισχύει:
.
Συνεπώς:
,
και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
.
Από τις προκύπτει το ζητούμενο.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες