Προβλήμα

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Προβλήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Παρ Νοέμ 20, 2015 7:56 pm

Σε ένα εργοστάσιο πρόκειται να κατασκευαστούν κυλινδρικά κουτάκια μπύρας με χωρητικότητα 628ml. ,με τέτοιο τρόπο ωστε να χρησιμοποιηθεί η ελάχιστη ποσότητα υλικού στην κατασκευή τους.

1) Να υπολογιστεί η ακτίνα βάσης και το ύψος του κυλίνδρου.

2) Να αποδειχθεί οτι ο λόγος της ακτίνας της βάσης προς το ύψος του είναι 0,5


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9344
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Προβλήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 20, 2015 8:37 pm

Για τους μαθητές που θέλουν να ασχοληθούν υπενθυμίζω ότι:
Πρόβλημα.png
Πρόβλημα.png (8.72 KiB) Προβλήθηκε 1749 φορές
Ο όγκος του κυλίνδρου είναι : \boxed{V = \pi {r^2}h} και

το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας: \boxed{{E_{o\lambda }} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Προβλήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Οκτ 23, 2017 2:38 pm

Ξεχασμένη...

1) Έχουμε \displaystyle V=628\Leftrightarrow \pi r^2 h=628\Leftrightarrow h=\frac{200}{r^2}~(1) (χρησιμοποίησα ότι \displaystyle \pi=3,14)

Για την ολική επιφάνεια : \displaystyle E(r)=2\pi rh+2\pi r^2\overset{(1)}=\frac{400\pi}{r}+2\pi r^2=2\pi\left(\frac{200}{r}+r^2\right),~r>0

H συνάρτηση έχει παράγωγο \displaystyle E'(r)=2\pi\left(-\frac{200}{r^2}+2r\right)=\frac{4\pi}{r^2}(r^3-100) η οποία μηδενίζεται για

\displaystyle r=\sqrt[3]{100}. Από το πρόσημο της παραγώγου προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \displaystyle r=\sqrt[3]{100}~cm


2) Από την (1) έχουμε : \displaystyle h=\frac{200}{\sqrt[3]{100}^2}=\frac{200\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{100}^3}=\frac{200\sqrt[3]{100}}{100}=2\sqrt[3]{100}=2r~cm

επομένως \displaystyle \frac{r}{h}=\frac{r}{2r}=0,5


Γιώργος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Προβλήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 23, 2017 5:27 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Δευ Οκτ 23, 2017 2:38 pm
Για την ολική επιφάνεια : \displaystyle E(r)=...=2\pi\left(\frac{200}{r}+r^2\right),~r>0

H συνάρτηση έχει παράγωγο \displaystyle E'(r)=...
Επειδή η Άσκηση υπάρχει σε σχεδόν όλους τους Απειροστικούς Λογισμούς, ας κάνουμε την ανάποδη πορεία, χωρίς Απειροστικό:

Από τα παραπάνω του Γιώργου και με χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ έχουμε

\displaystyle E(r)=2\pi\left(\frac{200}{r}+r^2\right)= 2\pi\left(\frac{100}{r}+\frac{100}{r}+r^2\right)\ge 6\pi \sqrt [3]{\frac{100}{r}\cdot \frac{100}{r}\cdot r^2}=6\pi \sqrt [3]{100^2}

με ισότητα όταν \frac{100}{r}= r^2, δηλαδή r^3=100 (ως άνω), και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης