Περί στατιστικής και πιθανοτήτων

Tolaso J Kos · #1

Δίδονται οι συναρτήσεις $f_1(x), \, f_2(x), \, f_3(x), \, ..., \, f_\nu (x)$ με $\nu \in \mathbb{N}^*$ όπου $f_k(x)=kx^2-2kx+k^2-2, \, \, \, \, k=1, 2, ..., \nu$

α)Να δειχθεί ότι $\displaystyle{f_{k+1}-f_k=(x-1)^2+2k, \, \, \, x\in \mathbb{R} }$
β)Αν η ελάχιστη τιμή της διαμέσου των παρατηρήσεων $f_1(x), \, f_2(x), \, f_3(x), \, ..., \, f_\nu (x)$ είναι

τότε:

i)να βρεθεί η τιμή του $\nu$
ii)Έστω ο δειγματικός $\Omega =\left \{ 1, 2, ..., \nu \right \}$ όπου οι πιθανότητες $P(1), \, \, P(2), \, \, ..., \, \, P(\nu )$ των στοιχειωδών ενδεχομένων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο $\lambda =2$ . Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

: το $k\in \Omega$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_{f_k}$ στο (1, f_k(1))

να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

: το $k\in \Omega$ τέτοιο ώστε η f_k(x)

να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

Να οριστεί η $P(A\cup B)$

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδονται οι συναρτήσεις $f_1(x), \, f_2(x), \, f_3(x), \, ..., \, f_\nu (x)$ με $\nu \in \mathbb{N}^*$ όπου $f_k(x)=kx^2-2kx+k^2-2, \, \, \, \, k=1, 2, ..., \nu$

α)Να δειχθεί ότι $\displaystyle{f_{k+1}-f_k=(x-1)^2+2k, \, \, \, x\in \mathbb{R} }$
β)Αν η ελάχιστη τιμή της διαμέσου των παρατηρήσεων $f_1(x), \, f_2(x), \, f_3(x), \, ..., \, f_\nu (x)$ είναι τότε:

i)να βρεθεί η τιμή του $\nu$
ii)Έστω ο δειγματικός $\Omega =\left \{ 1, 2, ..., \nu \right \}$ όπου οι πιθανότητες $P(1), \, \, P(2), \, \, ..., \, \, P(\nu )$ των στοιχειωδών ενδεχομένων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο $\lambda =2$ . Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

: το $k\in \Omega$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_{f_k}$ στο να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

: το $k\in \Omega$ τέτοιο ώστε η να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.

Να οριστεί η $P(A\cup B)$

ΛΥΣΗ

α) Είναι $f_k(x)=kx^2-2kx+k^2-2, \, \, \, \, k=1, 2, ..., \nu$ και

${{f}_{k+1}}(x)=(k+1){{x}^{2}}-2(k+1)x+{{(k+1)}^{2}}-2=k{{x}^{2}}-2kx+{{k}^{2}}-2+{{x}^{2}}-2x+2k+1$ άρα ${{f}_{k+1}}(x)={{f}_{k}}(x)+{{(x-1)}^{2}}+2k\Leftrightarrow {{f}_{k+1}}(x)-{{f}_{k}}(x)={{(x-1)}^{2}}+2k$

β)
i)Προφανώς λόγω (α) ${{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}={{(x-1)}^{2}}+2k>0$ άρα οι παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά είναι

$f_1(x), \, f_2(x), \, f_3(x), \, ..., \, f_\nu (x)$

και αν $v=2\lambda ,\,\,\,\lambda \in {{N}^{*}}$ τότε $\delta =\frac{{{f}_{\lambda }}(x)+{{f}_{\lambda +1}}(x)}{2}=\frac{{{f}_{\lambda }}(x)+{{f}_{\lambda }}(x)+{{(x-1)}^{2}}+2\lambda }{2}=\frac{2{{f}_{\lambda }}(x)+{{(x-1)}^{2}}+2\lambda }{2}$

και για την συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{2}(2{{f}_{\lambda }}(x)+{{(x-1)}^{2}}+2\lambda )$ που είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=\frac{1}{2}(2{{{f}'}_{\lambda }}(x)+2(x-1))={{{f}'}_{\lambda }}(x)+(x-1)=2\lambda x-2\lambda +(x-1)=$

$=(2\lambda -1)(x-1)+(x-1)=2\lambda (x-1)$ και επειδή είναι ${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ και

${g}'(x)>0\Leftrightarrow x>1$ και ${g}'(x)<0\Leftrightarrow x<1$ η

έχει ελάχιστη τιμή για x=1

την

$g(1)=\frac{1}{2}(2{{f}_{\lambda }}(1)+2\lambda )={{f}_{\lambda }}(1)+\lambda =\lambda -2\lambda +{{\lambda }^{2}}-2+\lambda ={{\lambda }^{2}}-2$

θέλουμε να είναι ${{\lambda }^{2}}-2=7\Leftrightarrow {{\lambda }^{2}}=9\Leftrightarrow \lambda =3,\,\,\,\lambda \in {{N}^{*}}$

και αν $v=2\lambda +1,\,\,\,\lambda \in N$ τότε $\delta ={{f}_{\lambda +1}}(x)={{f}_{\lambda }}(x)+{{(x-1)}^{2}}+2\lambda$ και για την

$g(x)={{f}_{\lambda }}(x)+{{(x-1)}^{2}}+2\lambda$ που είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)={{{f}'}_{\lambda }}(x)+2(x-1)=2\lambda x-2\lambda +2(x-1)=$

$=2\lambda (x-1)+2(x-1)=2(\lambda +1)(x-1)$ και όπως προηγούμενα έχει ελάχιστη τιμή

$g(1)={{f}_{\lambda }}(1)+{{(x-1)}^{2}}+2=\lambda -2\lambda +{{\lambda }^{2}}-2+2={{\lambda }^{2}}-\lambda$ θέλουμε να είναι

${{\lambda }^{2}}-\lambda =7\Leftrightarrow {{\lambda }^{2}}-\lambda -7=0$ που είναι αδύνατη γιατί θέλουμε να είναι $\lambda \in {{N}^{*}}$

Άρα δεκτή η $\lambda =3$ οπότε v=6

ii) Είναι τώρα $\Omega =\left\{ 1,2,...,6 \right\}$ και ισχύει ότι P(1)+P(2)+...+P(6)=1

και αφού είναι άθροισμα διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο $\lambda =2$ θα ισχύει ότι

$\frac{P(1)({{2}^{6}}-1)}{2-1}=1\Leftrightarrow 63P(1)=1\Leftrightarrow P(1)=\frac{1}{63}$ επομένως

$P(2)=\frac{2}{63},P(3)=\frac{4}{63},\,P(4)=\frac{8}{63},P(5)=\frac{16}{63},P(6)=\frac{32}{63}$

Τώρα η εφαπτομένη της $C_{f_k}$ στο (1, f_k(1))

είναι $y-{{f}_{k}}(1)={{{f}'}_{k}}(1)(x-1)$

και για να διέρχεται από την αρχή των αξόνων, θα ισχύει

${{f}_{k}}(1)={{{f}'}_{k}}(1)\Leftrightarrow k-2k+{{k}^{2}}-2=0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-k-2=0$

άρα k=2

αφού $k\in {{N}^{*}}$ επομένως $A=\left\{ 2 \right\}$

Ακόμη η $f_k(x)=kx^2-2kx+k^2-2, \, \, \, \, k=1, 2, ..., \nu$ να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες πρέπει κα αρκεί

$\Delta >0\Leftrightarrow 4{{k}^{2}}-4k({{k}^{2}}-2)>0\Leftrightarrow 4k(k-{{k}^{2}}+2)>0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-k-2<0$

που επαληθεύεται για k<2

άρα $B=\left\{ 1 \right\}$ και τελικά

$A\cup B=\left\{ 1,2 \right\}$ και $P(A\cup B)=P(1)+P(2)=\frac{1}{63}+\frac{2}{63}=\frac{1}{21}$

...οι πράξεις θα δείξουν...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Περί στατιστικής και πιθανοτήτων

Περί στατιστικής και πιθανοτήτων

Re: Περί στατιστικής και πιθανοτήτων

Μέλη σε σύνδεση