Καμπυλόγραμμος τόπος

KARKAR · #1

: Καπυλόγραμμος τόπος.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

Σημείο

κινείται στην ευθεία y=-2

και έστω

το μέσο του

. Η κάθετη

, από το

προς την

, τέμνει την

στο σημείο

, του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2026 4:38 pm Καπυλόγραμμος τόπος.pngΣημείο κινείται στην ευθεία και έστω το μέσο του . Η κάθετη , από το

προς την , τέμνει την στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

Με

, όπου

παράμετρος, η εξίσωση της

είναι $y=\dfrac {2a-2x}{a}$ (*). Επίσης είναι M(a,-2)

, άρα έχει κλίση $-\dfrac {4}{a}$ οπότε η

έχει εξίσωση $y=\dfrac {ax}{4}-2$ (**)

Λύνοντας το σύστημα των (*), (**) θα βρούμε ότι το

έχει συντεταγγμένες $x=\dfrac {16a}{a^2+8}, \, y=\dfrac {2(a^2-8)}{a^2+8}$ .

Με απαλοιφή του

θα βρούμε $\boxed {x^2+2y^2=8}$ (έλλειψη της οποίας κρατάμε το δεξί μισό).

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2026 7:35 pm
Με απαλοιφή του θα βρούμε $\boxed {x^2+2y^2=8}$ (έλλειψη της οποίας κρατάμε το δεξί μισό).

Άψογη αντιμετώπιση

Δύο παρατηρήσεις : Θεωρώ ότι πολλοί αναγνώστες ( μεταξύ αυτών και εγώ )

βρίσκουν μάλλον δύσκολη την απαλοιφή της παραμέτρου , οπότε ίσως είναι σκόπιμο να φαίνεται στην λύση .

Επίσης αφού το

κινείται σε όλη την ευθεία , γιατί να περιορίσουμε τον τόπο μόνο στον δεξί μισό ;

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2026 9:23 pm Θεωρώ ότι πολλοί αναγνώστες ( μεταξύ αυτών και εγώ )

βρίσκουν μάλλον δύσκολη την απαλοιφή της παραμέτρου , οπότε ίσως είναι σκόπιμο να φαίνεται στην λύση .

Επίσης αφού το κινείται σε όλη την ευθεία , γιατί να περιορίσουμε τον τόπο μόνο στον δεξί μισό ;

.
Ας το δούμε.

Ξέρουμε ότι ισχύει $x=\dfrac {16a}{a^2+8}, \, y=\dfrac {2(a^2-8)}{a^2+8}$ .

Από την δεύτερη, λύνοντας ως προς a^2

, έχουμε $a^2 = \dfrac {-8y-16}{y-2}$ (*). Τώρα η πρώτη στο τετράγωνο δίνει

$x=\dfrac {256a^2}{(a^2+8)^2}, που με αντικατάσηση του$ a^2 από την (*) οδηγεί στην ζητούμενη. Εδώ

x^2=\dfrac {256a^2}{(a^2+8)^2} =\dfrac {256\cdot \dfrac {-8y-16}{y-2} }{\left (\dfrac {-8y-16}{y-2}+8\right )^2}= ... = -2y^2+8

. Και λοιπά. <span style="color:#BFFFFF">.</span> <blockquote cite="./viewtopic.php?p=382155&sid=78a738c45d0597f55273195176c42d86#p382155"><div><cite><a href="./memberlist.php?mode=viewprofile&u=3451&sid=78a738c45d0597f55273195176c42d86">KARKAR</a> έγραψε: <a href="./viewtopic.php?p=382155&sid=78a738c45d0597f55273195176c42d86#p382155" aria-label="Προβολή δημοσίευσης παράθεσης" data-post-id="382155" onclick="if(document.getElementById(hash.substr(1)))href=hash"><i class="icon fa-arrow-circle-up fa-fw" aria-hidden="true"></i></a><span class="responsive-hide">Παρ Μάιος 15, 2026 9:23 pm</span></cite> Επίσης αφού το

Q

κινείται σε όλη την ευθεία , γιατί να περιορίσουμε τον τόπο μόνο στον δεξί μισό ; </div></blockquote> Θεώρησα ότι το

Q

κινείται μόνο δεξιά. Αλλά αν, ορθότερα, θεωρήσουμε ότι κινείται και αριστερά, τότε απλά παίρνει τις συμμετρικές θέσεις σε σύγκριση με το προηγούμενο, οπότε το

P$ διαγράφει και το άλλο μισό της έλλειψης.

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2026 9:23 pm ... Θεωρώ ότι πολλοί αναγνώστες ( μεταξύ αυτών και εγώ )

βρίσκουν μάλλον δύσκολη την απαλοιφή της παραμέτρου , οπότε ίσως είναι σκόπιμο να φαίνεται στην λύση .

.
Ας το δούμε.

Ξέρουμε ότι ισχύει $x=\dfrac {16a}{a^2+8}, \, y=\dfrac {2(a^2-8)}{a^2+8}$ .

Από την δεύτερη, λύνοντας ως προς a^2

, έχουμε $a^2 = \dfrac {-8y-16}{y-2}$ (*). Τώρα η πρώτη στο τετράγωνο δίνει

$x^2=\dfrac {256a^2}{(a^2+8)^2}$ , που με αντικατάσηση του a^2

από την (*) οδηγεί στην ζητούμενη. Εδώ

$x^2=\dfrac {256a^2}{(a^2+8)^2} =\dfrac {256\cdot \dfrac {-8y-16}{y-2} }{\left (\dfrac {-8y-16}{y-2}+8\right )^2}= ... = -2y^2+8$ . Και λοιπά.
.

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2026 9:23 pm Επίσης αφού το κινείται σε όλη την ευθεία , γιατί να περιορίσουμε τον τόπο μόνο στον δεξί μισό ;

Θεώρησα ότι το

κινείται μόνο δεξιά. Αλλά αν, ορθότερα, θεωρήσουμε ότι κινείται και αριστερά, τότε απλά παίρνει τις συμμετρικές θέσεις σε σύγκριση με το προηγούμενο, οπότε το

διαγράφει και το άλλο μισό της έλλειψης.

Καμπυλόγραμμος τόπος

Καμπυλόγραμμος τόπος

Re: Καμπυλόγραμμος τόπος

Re: Καμπυλόγραμμος τόπος

Re: Καμπυλόγραμμος τόπος

Re: Καμπυλόγραμμος τόπος

Μέλη σε σύνδεση