mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 15, 2025 10:55 pm**

: Δημιουργία νέας επαφής .png (29.96 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Στο καρτεσιανό επίπεδο είναι σχεδιασμένη η υπερβολή : $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ και ο κύκλος : (c) : x^2+y^2=a^2

.

Το

είναι σημείο της υπερβολής και η

εστία της . Εξετάστε αν ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτεται του (c)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 16, 2025 11:42 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 15, 2025 10:55 pm
Στο καρτεσιανό επίπεδο είναι σχεδιασμένη η υπερβολή : $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ και ο κύκλος : .

Το είναι σημείο της υπερβολής και η εστία της . Εξετάστε αν ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται του .

Απάντηση: Ναι, εφάπτονται.

Τα κύρια βήματα γιατί οι πράξεις είναι πολλές: 'Εστω $S(p, \,q)$ σημείο της υπερβολής, δηλαδή ισχύει $\dfrac{p^2}{a^2}-\dfrac{q^2}{b^2}=1, \,\, (*)$ . Η εστία της υπερβολής είναι το σημείο E(c,0)

όπου

. O κύκλος διαμέτρου

έχει μέντρο το $M\left (\dfrac {p+c}{2}, \dfrac {q}{2} \right)$ και ακτίνα $R_2= \dfrac {1}{2} SE = \dfrac {1}{2}\sqrt {(p-c)^2+q^2}$ .

Για να αποδείξουμε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται, αρκεί να δείξουμε ότι R_1+R_2= OM

, όπου

οι ακτίνες τους, δηλαδή να δείξουμε ότι

$a+ \dfrac {1}{2}\sqrt {(p-c)^2+q^2} = \sqrt {\left (\dfrac {p+c}{2}\right ) + \left ( \dfrac {q}{2} \right )^2}$ (**)

Υψώνοντας στο τετράγωνο και θέτοντας c^2=a^2+b^2

, το αποδεικτέο μετά τις πράξεις γίνεται

$a\sqrt {p^2+q^2+a^2+b^2-2pc}= pc-a^2$

Πάλι στο τετράγωνο το αποδεικτέο μετά τις πράξεις γίνεται

a^2q^2+a^2b^2=b^2p^2

.

Αλλά αυτή ισχύει ως ισοδύναμη μορφή της (*)

, και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

(**) Αυτό είναι ισοδύναμο με τον γεωμετρικό ορισμό της υπερβολής, οπότε θα μπορούσε να τέλειωνε εδώ η απόδειξη. Όμως θα το κάνω με πράξεις για λόγους αυτοδυναμίας της απόδειξης.

mathematica.gr

Δημιουργία νέας επαφής

Δημιουργία νέας επαφής

Re: Δημιουργία νέας επαφής