Διπλάσιος λόγος

KARKAR · #1

: Διπλάσιος λόγος.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η

είναι διχοτόμος και η

διάμεσος .

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο με τρόπο ώστε να ισχύει : $\dfrac{AC}{AB}=2\dfrac{BM}{BD}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2024 2:16 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διχοτόμος και η διάμεσος .

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο με τρόπο ώστε να ισχύει : $\dfrac{AC}{AB}=2\dfrac{BM}{BD}$ .

.
Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές $AB=c, AC=2\sqrt 2 c$ (για το πώς σκέφτηκα, βλέπε παρακάτω). Είναι τότε από το Πυθαγόρειο BC=3c

.

Βρίσκουμε τώρα από το Θεώρημα των διαμέσων ότι $2BM^2 + \dfrac {(2\sqrt 2c)^2}{2}= c^2 +(3c)^2$ , από όπου $\boxed { BM= c\sqrt 3}$ .

Aπό το Θεώρημα των διχοτόμων είναι $AD=\dfrac {bc}{a+c} = \dfrac {2\sqrt 2 c^2 }{c+3c} = \dfrac {\sqrt 2}{2} c$ . Άρα από το Πυθαγόρειο στο ABD

έπεται $\boxed { BD = \dfrac {\sqrt 6}{2} }$

Ξέρουμε τώρα όλους τους όρους της αποδεικτέας. Εύκολα βλέπουμε ότι αληθεύει καθώς ισχύει

$\dfrac{AC}{AB}= \dfrac {2\sqrt 2 c}{c} = 2\sqrt 2$ και επίσης

$\displaystyle{2\dfrac{BM}{BD} = \dfrac {2\sqrt 3 c}{\dfrac {\sqrt 6}{2} } = 2\sqrt 2 }$ .

Αυτό ολοκληρώνει την επαλήθευση.

Πώς σκέφτηκα; Περιληπτικά, η ζητούμενη γράφεται $\dfrac{AC^2}{AB^2}=4\dfrac{BM^2 }{BD^2}$ . Αντικαθιστώντας τις παραστάσεις αυτές με τις τιμές τους, ως προς a,b,c

, όπως ακριβώς έγινε παραπάνω μέσω του Θεωρήματος των διαμέσων και της διχοτόμου θα καταλήξουμε σε μία εξίσωση. Αντικαθιστώντας τα b^2

με το ίσο τους a^2-c^2

η εν λόγω εξίσωση γίνεται 3c^2+2ac-a^2 =0

, από όπου a=3c

. Δηλαδή έχουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που περιέγραψα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2024 2:16 pm
Διπλάσιος λόγος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διχοτόμος και η διάμεσος .

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο με τρόπο ώστε να ισχύει : $\dfrac{AC}{AB}=2\dfrac{BM}{BD}$ .

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

.Από θ.διχοτόμου $AD=\dfrac{bc}{a+c}$

$\dfrac{AC}{AB}= \dfrac{2BM}{BD} \Leftrightarrow \dfrac{2AM}{AB}= \dfrac{2BM}{BD} \Leftrightarrow \dfrac{AM}{AB}= \dfrac{BM}{BD} \Rightarrow tan \hat{ABM} =\dfrac{BM}{BD}$

$tan \hat{ABM} =tan\hat{BEM} \Rightarrow \dfrac{BM}{BD}= \dfrac{BM}{BE} \Rightarrow BE=BD \Rightarrow EA=AD$

$AB^2=EA.AM \Rightarrow AB^2=AD.AM \Rightarrow c^2= \dfrac{bc}{a+c}. \dfrac{b}{2}$ και με b^2=a^2-c^2

παίρνουμε

με δεκτή ρίζα a=3c

και η κατασκευή πλέον είναι απλή.

: Διπλάσιος λόγος.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

Διπλάσιος λόγος

Διπλάσιος λόγος

Re: Διπλάσιος λόγος

Re: Διπλάσιος λόγος

Μέλη σε σύνδεση