Εγκεντρικός τόπος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εγκεντρικός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 11, 2024 10:29 am

Εγκεντρικός  τόπος.png
Εγκεντρικός τόπος.png (10.49 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Το τρίγωνο ABC του σχήματος έχει περίμετρο 16 και κινητή την κορυφή A .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο ( καρτεσιανή εξίσωση ) του εγκέντρου του , E .



Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 491
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Εγκεντρικός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τετ Νοέμ 13, 2024 5:18 pm

Σύμφωνα με την παρακάτω πρόταση, η απάντηση στο ζητούμενο της άσκησης είναι ότι, ο γ.τ. του έκκεντρου \displaystyle{Ε} του τριγώνου \displaystyle{ABC} είναι η έλλειψη με εξίσωση \displaystyle{\boxed{x^2+4y^2=9}}, εκτός των κορυφών της \displaystyle{B, C}.
Πρόταση.
Έστω η έλλειψη με εστίες \displaystyle{E(\gamma, 0), \ \ E'(-\gamma , 0)}, μήκος μεγάλου άξονα \displaystyle{2a} και μικρού \displaystyle{2b} , με \displaystyle{b^2=a^2-\gamma^2}.
Αν \displaystyle{A(k,m)} σημείο της έλλειψης διαφορετικό από τις κορυφές της στο μεγάλο άξονα, τότε ο γ.τ.
του έκκεντρου \displaystyle{K\left(x_e,y_e\right)} του τριγώνου \displaystyle{AEE'}
είναι έλλειψη εκτός των κορυφών της \displaystyle{E, E'}.
Απόδειξη.
Η περίμετρος του τριγώνου \displaystyle{AEE'} είναι \displaystyle{2\tau=2\gamma+2a} και αν \displaystyle{r} η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε: \displaystyle{(AEE')=r\tau=|m|\gamma\Rightarrow r=\frac{|m|\gamma}{a+\gamma}}.
Έτσι, η τεταγμένη του έκκεντρου του τριγώνου θα είναι \displaystyle{\boxed{y_e=\frac{m\gamma}{a+\gamma}}\bf(1)}.
Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης γνωρίζουμε ότι η διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{EAE'} είναι κάθετη στην εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της \displaystyle{A}.
Αυτό θα μας δώσει εύκολα την εξής ισότητα: \displaystyle{-a^2m\left(x_e-k\right)+b^2k\left(y_e-m\right)=0}.
Αυτή η ισότητα σε συνδυασμό με την \displaystyle{\bf(1)}, και τις απαραίτητες πράξεις, θα μας δώσει την τετμημένη του έκκεντρου:
\displaystyle{\boxed{x_e=\epsilon k}\bf(2)}, με \displaystyle{\epsilon =\frac{\gamma}{a}} την εκκεντρότητα της έλλειψης.
Από τις \displaystyle{\bf{(1),(2)} και την \displaystyle{\dfrac{k^2}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2}=1} προκύπτει εύκολα η

\displaystyle{\boxed{\dfrac{x_e^2}{\gamma^2}+\dfrac{y_e^2}{\left(b \dfrac{\epsilon+1}{\epsilon}\right)^2}=1}}.
egentro.png
egentro.png (39.16 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13696
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγκεντρικός τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 14, 2024 9:26 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2024 10:29 am
Εγκεντρικός τόπος.pngΤο τρίγωνο ABC του σχήματος έχει περίμετρο 16 και κινητή την κορυφή A .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο ( καρτεσιανή εξίσωση ) του εγκέντρου του , E .
Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου. Επειδή AB+AC=10 το A θα κινείται σε έλλειψη με μεγάλο άξονα 10 και

εστίες τα B, C. Άρα θα έχει εξίσωση \displaystyle \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1. Με τις συντεταγμένες των σημείων που φαίνονται στο σχήμα είναι

\displaystyle A{B^2} = {({x_1} + 3)^2} + {y_1}^2, κι επειδή τα x_1, y_1 επαληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης, είναι 5AB=3x_1+25.

Ομοίως 5AC=|3x_1-25|=25-3x_1 (αφού -5<x_1<5).
Εγκεντρικός τόπος.png
Εγκεντρικός τόπος.png (20.16 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
Το D ισαπέχει από τις AB, AC, άρα \displaystyle \frac{{d + 3}}{{3{x_1} + 25}} = \frac{{3 - d}}{{25 - 3{x_1}}} \Leftrightarrow \boxed{d=\frac{9x_1}{25}} (1)

Εξάλλου, \displaystyle \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow (x - {x_1},y - {y_1}) = \frac{5}{3}(d - x, - y)\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} {x_1} = \frac{{5x}}{3},{y_1} = \frac{{8y}}{3}

Αντικαθιστώντας τώρα στην \displaystyle 16{x_1}^2 + 25{y_1}^2 = 400, βρίσκουμε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου

\boxed{x^2+4y^2=9} που είναι έλλειψη με εξαίρεση τα σημεία B, C.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Νοέμ 14, 2024 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1349
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Εγκεντρικός τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Νοέμ 14, 2024 12:41 pm

Θα ήθελα να θυμίσω ότι οι συντεταγμένες του εγκέντρου τριγώνου ABC με
A\left( x_{1},y_{1} \right),B\left( x_{2},y_{2} \right) ,C\left( x_{3},y_{3} \right)  είναι

\displaystyle x_{E}=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, y_{E}=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}

όπου a=\left( BC \right), b=\left( AC \right), c=\left( AB \right)

Το θέμα λύνεται απλά πλέον...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες