Τριγωνική αστάθεια

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15161
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριγωνική αστάθεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 08, 2024 5:06 pm

Τριγωνική  αστάθεια.png
Τριγωνική αστάθεια.png (53.92 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Σε κύκλο (O,r) "εγγράφουμε" τετράγωνο KLMN με τις κορυφές K , L σε μεταβλητή οριζόντια χορδή AB

και τις M , N , σημεία του κύκλου . Το S είναι ο νότιος πόλος του κύκλου . Υπολογίστε το μέγιστο του (SKL) .



Λέξεις Κλειδιά:
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 114
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm

Re: Τριγωνική αστάθεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Τετ Ιούλ 10, 2024 8:03 pm

Έστω d το ύψος του \triangle KLS από το S
Έστω a η πλευρά του KLMN
Έστω r=1
Έστω C ο Βόρειος Πόλος και \{D\}=NM\cap SC

Είναι d+a=SC>r=1 οπότε
επειδή ND^2=DC\cdot DS (τετράγωνο ύψους σε ορθογώνιο ορθογώνιο τρίγωνο)
βρίσκουμε d=1-a+\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4}}

Οπότε το (SKL)=\dfrac{1}{2}\cdot d\cdot a μεγιστοποιείται για μια τιμή του a
για την οποία βρίσκουμε (με παραγώγους) ότι
(2-a^2)=(2a-1)\sqrt{4-a^2} \ (*)
Από την τελευταία βρίσκουμε \dfrac{1}{2}<a<\sqrt{2} (Π)

Η (*) δίνει για a\ne0
5a^3-4a^2-19a+16=0

Από τις ρίζες της τελευταίας, τον περιορισμό (Π) ικανοποιεί η a\approx 0.85205 \blacksquare


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης