ΚΛΕΙΣΤΟΣ ΤΥΠΟΣ

Συντονιστές: silouan, rek2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1317
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΚΛΕΙΣΤΟΣ ΤΥΠΟΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Νοέμ 13, 2023 8:58 am

Να βρεθεί κλειστός τύπος για το άθροισμα

1^{2}x+2^{2}x^{2}+3^{2}x^{3}+...+n^{2}x^{n}

όπου x πραγματικός αριθμός διαφορετικός του 1.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4105
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΚΛΕΙΣΤΟΣ ΤΥΠΟΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Νοέμ 13, 2023 9:23 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 13, 2023 8:58 am
Να βρεθεί κλειστός τύπος για το άθροισμα

1^{2}x+2^{2}x^{2}+3^{2}x^{3}+...+n^{2}x^{n}

όπου x πραγματικός αριθμός διαφορετικός του 1.
Καλημέρα σε όλους τους φίλους.

Είναι 1+x+x^2+x^3+\cdots + x^n=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}. Το δεύτερο μέλος ας το συμβολίσουμε με A(x).

Παραγωγίζοντας και τα 2 μέλη και μετά πολλαπλασιάζοντας με x παίρνουμε:

x+2x^2+3x^3+\cdots +nx^{n} = xA'(x)

Παραγωγίζοντας και τα 2 μέλη και πολλαπλασιάζοντας και πάλι με x παίρνουμε:

x+2^2x^2+3^2x^3+\cdots + n^2x^n=x\left(xA'(x)\right)'

Μένουν οι απλές πράξεις στο 2ο μέλος για να καταλήξουμε στον ζητούμενο κλειστό τύπο.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 6019
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΚΛΕΙΣΤΟΣ ΤΥΠΟΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Νοέμ 13, 2023 12:28 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 13, 2023 8:58 am
Να βρεθεί κλειστός τύπος για το άθροισμα
1^{2}x+2^{2}x^{2}+3^{2}x^{3}+...+n^{2}x^{n}
όπου x πραγματικός αριθμός διαφορετικός του 1.
Μετά από την έξυπνη λύση του Αλέξανδρου και μόνο για λόγους πολυφωνίας ας δούμε και την "χειρωνακτική" προσπάθεια που ακολουθεί:


Θέτουμε την παράσταση K και βλέπουμε ότι για x=0 έχουμε K=0. Άρα για x \in {\Cal R}/\left\{ {0,1} \right\} παίρνουμε:

\left( {x - 1} \right)K =  - L + {n^2}{x^{n + 1}} - x,\;\,L = 3{x^2} + 5{x^3} + ... + \left( {2n - 1} \right){x^n}. Έτσι μετά από κάποιες πράξεις έχουμε:

\left( {x - 1} \right)L = \left( {2n - 1} \right){x^{n + 1}} - \frac{{2{x^3}\left( {{x^{n - 2}} - 1} \right)}}{{x - 1}} - 3{x^2}, οπότε τώρα με απλή διαδικασία προκύπτει:

{\left( {x - 1} \right)^2}K =  - \left( {2n - 1} \right){x^{n + 1}} + \frac{{2{x^3}\left( {{x^{n - 2}} - 1} \right)}}{{x - 1}} + 3{x^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {{n^2}{x^{n + 1}} - x} \right)\;\Rightarrow K=\;...


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: thry και 1 επισκέπτης