Ψευτοκατασκευή

KARKAR · #1

: Τρίγωνο σπέσιαλ.png (8.07 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Ίσως δεν ταιριάζει στον φάκελο αλλά και σε ποιον ταιριάζει ;

"Κατασκευάστε" λοιπόν το τρίγωνο ABC

, στο οποίο είναι :

AB+AC=32 , BC=16

και : $AD=\sqrt{165}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 29, 2023 5:49 pm Τρίγωνο σπέσιαλ.pngΊσως δεν ταιριάζει στον φάκελο αλλά και σε ποιον ταιριάζει ;

"Κατασκευάστε" λοιπόν το τρίγωνο , στο οποίο είναι :

και : $AD=\sqrt{165}$ .

: Ψευτοκατασκευή.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Το ότι το άθροισμα των αποστάσεων ενός σημείου $(\varepsilon \delta \omega \,\,A)$ από δύο σταθερά σημεία $\left( {\varepsilon \delta \omega \,\,B\,\,,\,\,C} \right)$ είναι σταθερό ,

σκέφτηκα μπαμπέσικη κατασκευή και προέκυψε μετά Ευκλείδεια !

#3

Doloros έγραψε: Πέμ Ιουν 29, 2023 6:24 pm
σκέφτηκα μπαμπέσικη κατασκευή και προέκυψε μετά Ευκλείδεια !

Φαντάζομαι ότι η μπαμπέσικη κατασκευή του Νίκου είναι η παρακάτω ή κάνω λάθος;

: 29-06-2023 Γεωμετρία.png (35.67 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

To

ανήκει στην έλλειψη $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{256}} + \frac{{{y^2}}}{{192}} = 1$ , που έχει εστίες B(-8,0), C(8,0)

Έχει τεταγμένη $\displaystyle \sqrt {165}$ άρα x^2=36

, οπότε $\displaystyle A\left( {6,\sqrt {165} } \right),\;\;A'\left( { - 6,\sqrt {165} } \right)$ και η κατασκευή είναι πλέον εφικτή.

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 29, 2023 5:49 pm "Κατασκευάστε" λοιπόν το τρίγωνο , στο οποίο είναι :

και : $AD=\sqrt{165}$ .

Δίνεται

και $s= \frac {1}{2} [(AB + AC) + BC] = \frac {1}{2} (32+16) = 24$ . Από το εμβαδόν του τριγώνου με δύο διαφορετικούς τρόπους έχουμε

$\sqrt { 24(24-16) (24-b) (24-32+b) } = \frac {1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt {165}$

Λύνοντας την δευτεροβάθμια ως προς

θα βρούμε

ή

. Δεκτές και οι δύο.

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 29, 2023 5:49 pm Τρίγωνο σπέσιαλ.pngΊσως δεν ταιριάζει στον φάκελο αλλά και σε ποιον ταιριάζει ;

"Κατασκευάστε" λοιπόν το τρίγωνο , στο οποίο είναι :

και : $AD=\sqrt{165}$ .

Θέτω, $BD = t\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Ad = h$ . Είναι ${h^2} = 165$

Π. Θ. στο $\vartriangle DAB$ και επέκταση του Π. Θ. στο $\vartriangle ABC$ .

: Ψευτοκατασκευή_new.png (13.17 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

$\left\{ \begin{gathered} b + c = 32 \hfill \\ {t^2} = {c^2} - 165 \hfill \\ {b^2} = {c^2} + {16^2} - 2 \cdot 16t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b + c = 32 \hfill \\ {t^2} = {c^2} - 165 \hfill \\ b - c = 8 - t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b + c = 32 \hfill \\ \left( {2c - b + 8} \right)\left( {b - 8} \right) = 165 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα $b = 19\,\,,\,\,c = 13$ ή συμμετρικά .

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 29, 2023 5:49 pm Τρίγωνο σπέσιαλ.pngΊσως δεν ταιριάζει στον φάκελο αλλά και σε ποιον ταιριάζει ;

"Κατασκευάστε" λοιπόν το τρίγωνο , στο οποίο είναι :

και : $AD=\sqrt{165}$ .

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε και ο εγγεγραμμένος κύκλος (I,r)

εφάπτεται της

στο

Είναι

$\displaystyle 8\sqrt {165} = (ABC) = \frac{{a + b + c}}{2}r = 24r \Leftrightarrow r = \frac{{\sqrt {165} }}{3}$ και $\displaystyle AE = \frac{{b + c - a}}{2} = 8$

Επομένως το ορθογώνιο τρίγωνο AEI

είναι κατασκευάσιμο, οπότε η γωνία $I\widehat AE=\theta$ είναι γνωστή, άρα και η $\widehat A=2\theta.$

: Ψευτοκατασκευή.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Κατασκευή: Παίρνω τμήμα BC=16.

Η τρίτη κορυφή

προσδιορίζεται ως τομή δύο γεωμετρικών τόπων.

Βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη της

σε απόσταση $\sqrt{165}$ και στο τόξο χορδής

που δέχεται γωνία $2\theta.$

KARKAR · #7

Έδωσα στην άσκηση τον τίτλο "ψευτοκατασκευή" διότι θεώρησα ότι η πρώτη σκέψη του λύτη είναι να βρει τις τομές

της έλλειψης με τη ευθεία ( τις ευθείες) , που βρίσκεται σε απόσταση όσο το ύψος από τον μεγάλο της άξονα .

Λύσεις με χρήση των δεδομένων μηκών , προκύπτει και με υπολογισμούς , πάντως κι αυτές οι λύσεις δεν έχουν την

ομορφιά της "γνήσια" ευκλείδειας κατασκευής .

Γι αυτό και έβαλα σε ξεχωριστό θέμα την κατασκευή , απαλλαγμένη από συγκεκριμένα μήκη . Αναφέρω ότι

η ανάρτηση αυτή , προηγήθηκε της εδώ λύσης του Γιώργου , η οποία βεβαίως είναι εντυπωσιακή

.

Ψευτοκατασκευή

Ψευτοκατασκευή

Re: Ψευτοκατασκευή

Re: Ψευτοκατασκευή

Re: Ψευτοκατασκευή

Re: Ψευτοκατασκευή

Re: Ψευτοκατασκευή

Re: Ψευτοκατασκευή

Μέλη σε σύνδεση