Μέγιστο ημίτονο

KARKAR · #1

: Μέγιστο ημίτονο.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Στο ισοσκελές ( AB=AC

) τρίγωνο ABC

, η

είναι διάμεσος και το σημείο

,

η προβολή του

σ' αυτήν . Υπολογίστε το μέγιστο ημίτονο της γωνίας : $\widehat{BAS} , (=\theta)$ .

Altrian · #2

Εστω χωρις βλάβη της γενικότητας ότι τα μήκη των ίσων πλευρών είναι AB=AC=4

. Το σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου BM=2

. Η μέγιστη γωνία και άρα το μέγιστο ημίτονο αυτής προκύπτει όταν η

εφάπτεται του κύκλου (D,1)

. Αρκεί επομένως να είναι δυνατή η κατασκευή του ισοσκελούς τριγώνου. Το σημείο

είναι η τομή του κύκλου (A,4)

με την προέκταση της

.
Αρα $max [sin\theta]=\dfrac{DS}{AD}=\dfrac{1}{3}$

#3

Της κομψότατης λύσης του Αλέξανδρου, έπεται μια προσέγγιση με "νεότερα", ας τα πούμε εργαλεία, πάντως δίχως παραγώγους και δίχως να πειράξω το σχήμα.

: 25-02-2023 Γεωμετρία 2.png (28.23 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Στο

$\displaystyle \frac{{AS}}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{{AB}}{{\eta \mu \left( {90^\circ + \omega } \right)}} \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \omega }}$

Στο AMS

$\displaystyle \frac{{AS}}{{\eta \mu \left( {90^\circ + \varphi } \right)}} = \frac{{A{\rm M}}}{{\eta \mu \omega }} \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \omega }}$

Οπότε $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \omega }} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \frac{1}{2} \cdot \sigma \varphi \varphi$

Είναι $\displaystyle \theta + \omega + \varphi = 90^\circ \Rightarrow \omega = 90^\circ - \varphi - \theta$

Άρα $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \sigma \varphi \left( {\varphi + \theta } \right) = \frac{1}{2}\sigma \varphi \varphi \Leftrightarrow \frac{{\sigma \varphi \varphi \sigma \varphi \theta - 1}}{{\sigma \varphi \varphi + \sigma \varphi \theta }} = \frac{1}{2}\sigma \varphi \varphi$ , οπότε $\displaystyle \sigma \varphi \theta = \frac{{\sigma {\varphi ^2}\varphi + 2}}{{\sigma \varphi \varphi }},\;\;\varphi \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$

Είναι $\displaystyle \frac{{\sigma {\varphi ^2}\varphi + 2}}{{\sigma \varphi \varphi }} = \sigma \varphi \varphi + \frac{2}{{\sigma \varphi \varphi }}$ , οπότε, αφού το γινόμενό τους είναι σταθερό, το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν είναι ίσοι (αν γίνεται).

$\displaystyle \sigma \varphi \varphi = \frac{2}{{\sigma \varphi \varphi }} \Leftrightarrow \sigma {\varphi ^2}\varphi$ , οπότε $\displaystyle \sigma \varphi {\theta _{\max }} = 2\sqrt 2$

Για αυτήν την τιμή του $\displaystyle \theta$ είναι $\displaystyle \varepsilon {\varphi ^2}\theta = \frac{1}{8} \Rightarrow \eta {\mu ^2}\theta = \frac{{\frac{1}{8}}}{{1 + \frac{1}{8}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \eta \mu {\theta _{\max }} = \frac{1}{3}$

Μέγιστο ημίτονο

Μέγιστο ημίτονο

Re: Μέγιστο ημίτονο

Re: Μέγιστο ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση