Εξαίρετη συνευθειακότητα

[KARKAR]

Εξαίρετη συνευθειακότητα.png (18.65 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

Έλλειψη με τύπο : , τέμνει τον στο σημείο . Γράφουμε κύκλο

με κέντρο την αριστερή εστία της έλλειψης και διερχόμενο από το . Από σημείο του του ,

φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τις δύο κωνικές , τμήματα . ( , στο ίδιο τεταρτημόριο ) .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

[rek2]

Ωραία!!

Έστω F η δεύτερη εστία της έλλειψης και έστω D το συμμετρικό της εστίας F ως προς την εφαπτομένη SQ.

Είναι SE=SF=SD

Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης είναι γνωστό ότι τα σημεία E, Q, D είναι συνευθειακά, όποτε το τμήμα ED φορσέ ισούται με το σταθερό άθροισμα 2α.

Αλλά α=TE= TF

Επομένως, για το μέσο Μ του ED έχουμε: 1. Το SM είναι κάθετο στο EQD, αφού το τρίγωνο ESD ειναι ισοσκελες, και 2. ET=EM=α

Άρα το SM εφάπτεται του κύκλου και το M συμπίπτει με το P κ.λπ.