Εξαίρετη συνευθειακότητα

KARKAR · #1

Έλλειψη με τύπο : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 , (a>b>0)$ , τέμνει τον

στο σημείο

. Γράφουμε κύκλο

με κέντρο την αριστερή εστία

της έλλειψης και διερχόμενο από το

. Από σημείο του

του

,

φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τις δύο κωνικές , τμήματα SP , SQ

. (

, στο ίδιο τεταρτημόριο ) .

Δείξτε ότι τα σημεία E , P , Q

είναι συνευθειακά .

#2

Ωραία!!

Έστω

η δεύτερη εστία της έλλειψης και έστω

το συμμετρικό της εστίας

ως προς την εφαπτομένη SQ.

Είναι

Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης είναι γνωστό ότι τα σημεία E, Q, D

είναι συνευθειακά, όποτε το τμήμα

φορσέ ισούται με το σταθερό άθροισμα 2a.

Αλλά

Επομένως, για το μέσο

του

έχουμε: 1. Το

είναι κάθετο στο EQD

, αφού το τρίγωνο ESD

είναι ισοσκελές, και 2. ET=EM=a

Άρα το

εφάπτεται του κύκλου και το

συμπίπτει με το

κ.λπ.