Εξαίρετη συνευθειακότητα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξαίρετη συνευθειακότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 24, 2023 8:29 pm

Εξαίρετη  συνευθειακότητα.png
Εξαίρετη συνευθειακότητα.png (18.65 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
Έλλειψη με τύπο : \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 , (a>b>0) , τέμνει τον Oy στο σημείο T . Γράφουμε κύκλο

με κέντρο την αριστερή εστία E της έλλειψης και διερχόμενο από το T . Από σημείο του S του Oy ,

φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τις δύο κωνικές , τμήματα SP , SQ . ( P , Q , στο ίδιο τεταρτημόριο ) .

Δείξτε ότι τα σημεία E , P , Q είναι συνευθειακά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2053
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εξαίρετη συνευθειακότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιαν 24, 2023 9:40 pm

Ωραία!!

Έστω F η δεύτερη εστία της έλλειψης και έστω D το συμμετρικό της εστίας F ως προς την εφαπτομένη SQ.

Είναι SE=SF=SD

Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης είναι γνωστό ότι τα σημεία E, Q, D είναι συνευθειακά, όποτε το τμήμα ED φορσέ ισούται με το σταθερό άθροισμα 2α.

Αλλά α=TE= TF

Επομένως, για το μέσο Μ του ED έχουμε: 1. Το SM είναι κάθετο στο EQD, αφού το τρίγωνο ESD ειναι ισοσκελες, και 2. ET=EM=α

Άρα το SM εφάπτεται του κύκλου και το M συμπίπτει με το P κ.λπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης