Μεγιστοποίηση διαγωνίου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση διαγωνίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 23, 2023 1:21 pm

Μεγιστοποίηση  διαγωνίου.png
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.png (5.56 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Οι πλευρές AB , AD , του κυρτού τετραπλεύρου ABCD , είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

BC=5 και : CD=3 . Υπολογίστε την πλευρά a , για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος AC .



Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μεγιστοποίηση διαγωνίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Ιαν 23, 2023 2:52 pm

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου

BD\cdot AC \leq AB\cdot CD+AD\cdot BC \Rightarrow \sqrt{2}a\cdot AC \leq 5a+3a\Rightarrow AC \leq 4\sqrt{2}

με την ισότητα να ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Τότε όμως \triangle{BCD} είναι ορθογώνιο και έτσι \sqrt{2}a=\sqrt{25+9} \Rightarrow a=\sqrt{17}

Η μέγιστη τιμή του AC είναι 4\sqrt{2} όταν a=\sqrt{17}


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγιστοποίηση διαγωνίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 24, 2023 9:53 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 1:21 pm
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.pngΟι πλευρές AB , AD , του κυρτού τετραπλεύρου ABCD , είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

BC=5 και : CD=3 . Υπολογίστε την πλευρά a , για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος AC .
Θεωρώ τις ημιευθείες {h_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_2} που ξεκινούν από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D τέμνονται στο S και ισχύουν :

\widehat {SAB} = \widehat {CAD} ( ισογώνιες) και \widehat {SDA} = \widehat {BCA}.

Τα τρίγωνα : SAD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAC έχουν δύο γωνίες ίσες και είναι άρα όμοια με λόγο:

\dfrac{{SA}}{{BA}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{SD}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{a} = \dfrac{{AD}}{y} = \dfrac{{SD}}{5} \Rightarrow \boxed{SA + SD = \dfrac{{a\left( {a + 5} \right)}}{y}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,και \,\,\boxed{\dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\,}\,\,\left( 2 \right)

Τα τρίγωνα, ASB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADC\,\,\, έχουν τις κίτρινες γωνίες (\widehat {SAB\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DAC}) ίσες και
Μέγιστη διαγώνιος_new_PT1.png
Μέγιστη διαγώνιος_new_PT1.png (20.33 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές
\dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} άρα είναι όμοια κι απ’ εδώ προκύπτει : \boxed{SA + SB = \dfrac{{a\left( {a + 3} \right)}}{y}}\,\,\left( 3 \right).

Αφαιρώ κατά μέλη τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right) και έχω : SD - SB = \dfrac{{2a}}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{{2a}}{{SD - SB}} οπότε

από την τριγωνική ανισότητα στο \vartriangle SBD το y γίνεται μέγιστο όταν τα σημεία B,S,D γίνουν συνευθειακά ,

Τότε έχω το παρακάτω σχήμα :
Μέγιστη διαγώνιος_new_PT2.png
Μέγιστη διαγώνιος_new_PT2.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές
Και από το νόμο των συνημίτονων στα \vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ADC προκύπτει η (πρώτου βαθμού) εξίσωση :

\left( {{y^2}} \right) + 9 - 3y\sqrt 2  = \left( {{y^2}} \right) + 25 - 5y\sqrt 2 , δηλαδή {y_{\max }} = 4\sqrt 2


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση διαγωνίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 25, 2023 11:25 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 1:21 pm
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.pngΟι πλευρές AB , AD , του κυρτού τετραπλεύρου ABCD , είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

BC=5 και : CD=3 . Υπολογίστε την πλευρά a , για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος AC .
Έστω M, N τα μέσα των διαγωνίων AC, BD αντίστοιχα και P η προβολή του N στην AC.

Είναι \displaystyle BD = a\sqrt 2 ,AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.png
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 38 φορές
Με θεώρημα διαμέσων διαδοχικά στα τρίγωνα BCD, ANC βρίσκω πρώτα \displaystyle N{C^2} = \frac{{34 - {a^2}}}{2}

και στη συνέχεια \displaystyle A{C^2} = 34 - 4M{N^2} \leqslant 34 - 4N{P^2} με την ισότητα να ισχύει όταν τα M, P

συμπίπτουν, δηλαδή \displaystyle CN = AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}, οπότε \boxed{a=\sqrt{17}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης