Μεγιστοποίηση διαγωνίου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση διαγωνίου.png (5.56 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Οι πλευρές AB , AD

, του κυρτού τετραπλεύρου ABCD

, είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

BC=5

και :

. Υπολογίστε την πλευρά

, για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος

.

abgd · #2

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου

$BD\cdot AC \leq AB\cdot CD+AD\cdot BC \Rightarrow \sqrt{2}a\cdot AC \leq 5a+3a\Rightarrow AC \leq 4\sqrt{2}$

με την ισότητα να ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Τότε όμως $\triangle{BCD}$ είναι ορθογώνιο και έτσι $\sqrt{2}a=\sqrt{25+9} \Rightarrow a=\sqrt{17}$

Η μέγιστη τιμή του

είναι $4\sqrt{2}$ όταν $a=\sqrt{17}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 1:21 pm
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.pngΟι πλευρές , του κυρτού τετραπλεύρου , είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

και : . Υπολογίστε την πλευρά , για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος .

Θεωρώ τις ημιευθείες ${h_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_2}$ που ξεκινούν από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τέμνονται στο

και ισχύουν :

$\widehat {SAB} = \widehat {CAD}$ ( ισογώνιες) και $\widehat {SDA} = \widehat {BCA}$ .

Τα τρίγωνα : $SAD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAC$ έχουν δύο γωνίες ίσες και είναι άρα όμοια με λόγο:

$\dfrac{{SA}}{{BA}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{SD}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{a} = \dfrac{{AD}}{y} = \dfrac{{SD}}{5} \Rightarrow \boxed{SA + SD = \dfrac{{a\left( {a + 5} \right)}}{y}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,$ και $\,\,\boxed{\dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\,\,}\,\,\left( 2 \right)$

Τα τρίγωνα, $ASB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADC\,\,\,$ έχουν τις κίτρινες γωνίες ( $\widehat {SAB\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DAC}$ ) ίσες και

: Μέγιστη διαγώνιος_new_PT1.png (20.33 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

$\dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}$ άρα είναι όμοια κι απ’ εδώ προκύπτει : $\boxed{SA + SB = \dfrac{{a\left( {a + 3} \right)}}{y}}\,\,\left( 3 \right)$ .

Αφαιρώ κατά μέλη τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ και έχω : $SD - SB = \dfrac{{2a}}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{{2a}}{{SD - SB}}$ οπότε

από την τριγωνική ανισότητα στο $\vartriangle SBD$ το

γίνεται μέγιστο όταν τα σημεία B,S,D

γίνουν συνευθειακά ,

Τότε έχω το παρακάτω σχήμα :

: Μέγιστη διαγώνιος_new_PT2.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Και από το νόμο των συνημίτονων στα $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ADC$ προκύπτει η (πρώτου βαθμού) εξίσωση :

$\left( {{y^2}} \right) + 9 - 3y\sqrt 2 = \left( {{y^2}} \right) + 25 - 5y\sqrt 2$ , δηλαδή ${y_{\max }} = 4\sqrt 2$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 1:21 pm
Μεγιστοποίηση διαγωνίου.pngΟι πλευρές , του κυρτού τετραπλεύρου , είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους . Επίσης :

και : . Υπολογίστε την πλευρά , για την οποία μεγιστοποιείται η διαγώνιος .

Έστω

τα μέσα των διαγωνίων AC, BD

αντίστοιχα και

η προβολή του

στην

Είναι $\displaystyle BD = a\sqrt 2 ,AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

: Μεγιστοποίηση διαγωνίου.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές

Με θεώρημα διαμέσων διαδοχικά στα τρίγωνα BCD, ANC

βρίσκω πρώτα $\displaystyle N{C^2} = \frac{{34 - {a^2}}}{2}$

και στη συνέχεια $\displaystyle A{C^2} = 34 - 4M{N^2} \leqslant 34 - 4N{P^2}$ με την ισότητα να ισχύει όταν τα M, P

συμπίπτουν, δηλαδή $\displaystyle CN = AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},$ οπότε $\boxed{a=\sqrt{17}}$

Μεγιστοποίηση διαγωνίου

Μεγιστοποίηση διαγωνίου

Re: Μεγιστοποίηση διαγωνίου

Re: Μεγιστοποίηση διαγωνίου

Re: Μεγιστοποίηση διαγωνίου

Μέλη σε σύνδεση