Πιο ψηλά δεν πάει

KARKAR · #1

: Πιο ψηλά δεν πάει.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d

. Η χορδή

διέρχεται από το μέσο

,

της χορδής

. Βρείτε - συναρτήσει της διαμέτρου

- το μέγιστο ύψος του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 22, 2023 7:01 pm
Πιο ψηλά δεν πάει.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Η χορδή διέρχεται από το μέσο ,

της χορδής . Βρείτε - συναρτήσει της διαμέτρου - το μέγιστο ύψος του σημείου .

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου, d=2R

και

το μέσο του AT.

Αν

είναι η προβολή του

στην

και

τότε αναζητώ το $\displaystyle {h_{\max }}.$ Προφανώς το σημείο τομής

των

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου SAB.

: Πιο ψηλά δεν πάει.png (21.03 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

$\displaystyle ON \leqslant OG \Leftrightarrow \frac{{TB}}{2} \leqslant \frac{R}{3} \Leftrightarrow TB \leqslant \frac{d}{3}$ και $\displaystyle \sin \theta = \frac{{TB}}{d} \leqslant \frac{1}{3}.$

Αλλά, $\displaystyle \sin \theta = \frac{h}{{AT}} \leqslant \frac{1}{3} \Leftrightarrow h \leqslant \frac{{AT}}{3}.$ Άρα τη στιγμή της μεγιστοποίησης είναι AT=3h.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{D^2} = A{T^2} - {h^2} = 8{h^2} \hfill \\ 9{h^2} = A{T^2} = AD \cdot d \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 9{h^2} = 2h\sqrt 2 d \Leftrightarrow$ $\boxed{{h_{\max }} = \frac{{2d\sqrt 2 }}{9}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 22, 2023 7:01 pm
Πιο ψηλά δεν πάει.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Η χορδή διέρχεται από το μέσο ,

της χορδής . Βρείτε - συναρτήσει της διαμέτρου - το μέγιστο ύψος του σημείου .

Επειδή το

«βλέπει» το σταθερό

υπό ορθή γωνία , θα ανήκει στο σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου

.

Για να πετύχω το μέγιστο ύψος , y = TE

, αρκεί η

να γίνει εφαπτομένη αυτού του μικρού ημικυκλίου.

Έστω $d = 6k \Rightarrow R = 3k\,\,,\,\,k > 0$ . Με

προβολή του

στην

, η τετράδα $\left( {A,D\backslash O,B} \right)$ είναι αρμονική .

Από την αρμονική αναλογία :

$\dfrac{{DO}}{{DB}} = \dfrac{{AO}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{OB - DO}} = \dfrac{{3k}}{{6k}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{3k - DO}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow OD = k$ και άρα DB = 2k

. Έτσι :

$\left\{ \begin{gathered} A{M^2} = AO \cdot AB = 18{k^2} \hfill \\ M{D^2} = OD \cdot DB = 2{k^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AM = 3k\sqrt 2 \hfill \\ MD = k\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Πιο ψηλά δεν πάει_κατασκευή.png (14.39 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα $DMA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ETA$ έχω: $\dfrac{{TE}}{{MD}} = \dfrac{{TA}}{{MA}} \Rightarrow \dfrac{y}{{k\sqrt 2 }} = \dfrac{{AT}}{{3k\sqrt 2 }} \Rightarrow AT = 3y\,\,\left( 1 \right)$

$\left\{ \begin{gathered} A{T^2} = AE \cdot AB \hfill \\ T{E^2} = AE \cdot EB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Θέτω DE = x

και διαιρώ τις δύο προηγούμενες κατά μέλη,

$\dfrac{{9{y^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{6k}}{{2k - x}} \Rightarrow 3 = \dfrac{{2k}}{{2k - x}} \Rightarrow x = \dfrac{{4k}}{3}$ και άρα $\boxed{EB = \dfrac{{2k}}{3}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\boxed{AE = \dfrac{{16k}}{3}}\,\,\,$

Έτσι από ${y^2} = AE \cdot EB = \dfrac{{16}}{9} \cdot 2{k^2}$ ή τελικά : $\boxed{{y_{\max }} = \dfrac{4}{3}k\sqrt 2 = \dfrac{4}{3} \cdot \frac{d}{6}\sqrt 2 = \dfrac{{2\sqrt 2 d}}{9}}$

nickchalkida · #4

Η ιδέα όπως του Νίκου, οι πράξεις όμως μπορούν να απλοποιηθούν.
Το

θα διαγράψει ημικύκλιο και το μέγιστο θα συμβεί όταν η

εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου.
Εύκολα ακόμα, $AM= \sqrt{8}r$ και $\triangle AMC \sim \triangle ATB$ με συντελεστή αναλογίας 3/4. Άρα

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 2(AMC) = MC \cdot AM = AC \cdot MD \rightarrow MD = {\sqrt{8} \over 3} r \cr & TE = {4 \over 3} MD \rightarrow TE = {4 \over 3} {\sqrt{8} \over 3} r = {2 \sqrt{2} \over 9} r \cr \end{aligned} }$

#5

nickchalkida έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 23, 2023 11:16 pm
Η ιδέα όπως του Νίκου, οι πράξεις όμως μπορούν να απλοποιηθούν.
Το θα διαγράψει ημικύκλιο και το μέγιστο θα συμβεί όταν η εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου.
Εύκολα ακόμα, $AM= \sqrt{8}r$ και $\triangle AMC \sim \triangle ATB$ με συντελεστή αναλογίας 3/4. Άρα

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 2(AMC) = MC \cdot AM = AC \cdot MD \rightarrow MD = {\sqrt{8} \over 3} r \cr & TE = {4 \over 3} MD \rightarrow TE = {4 \over 3} {\sqrt{8} \over 3} r = {2 \sqrt{2} \over 9} r \cr \end{aligned} }$

Πιο ψηλά δεν πάει

Πιο ψηλά δεν πάει

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

Μέλη σε σύνδεση