Πιο ψηλά δεν πάει

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πιο ψηλά δεν πάει

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 22, 2023 7:01 pm

Πιο  ψηλά  δεν πάει.png
Πιο ψηλά δεν πάει.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d . Η χορδή AT διέρχεται από το μέσο M ,

της χορδής BS . Βρείτε - συναρτήσει της διαμέτρου d - το μέγιστο ύψος του σημείου T .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12087
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 23, 2023 11:43 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 22, 2023 7:01 pm
Πιο ψηλά δεν πάει.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d . Η χορδή AT διέρχεται από το μέσο M ,

της χορδής BS . Βρείτε - συναρτήσει της διαμέτρου d - το μέγιστο ύψος του σημείου T .

Έστω O το κέντρο του ημικυκλίου, d=2R και N το μέσο του AT. Αν D είναι η προβολή του T στην AB και TD=h,

τότε αναζητώ το \displaystyle {h_{\max }}. Προφανώς το σημείο τομής G των SO, AM είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου SAB.
Πιο ψηλά δεν πάει.png
Πιο ψηλά δεν πάει.png (21.03 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
\displaystyle ON \leqslant OG \Leftrightarrow \frac{{TB}}{2} \leqslant \frac{R}{3} \Leftrightarrow TB \leqslant \frac{d}{3} και \displaystyle \sin \theta  = \frac{{TB}}{d} \leqslant \frac{1}{3}.

Αλλά, \displaystyle \sin \theta  = \frac{h}{{AT}} \leqslant \frac{1}{3} \Leftrightarrow h \leqslant \frac{{AT}}{3}. Άρα τη στιγμή της μεγιστοποίησης είναι AT=3h.

\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  A{D^2} = A{T^2} - {h^2} = 8{h^2} \hfill \\ 
  9{h^2} = A{T^2} = AD \cdot d \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 9{h^2} = 2h\sqrt 2 d \Leftrightarrow \boxed{{h_{\max }} = \frac{{2d\sqrt 2 }}{9}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 23, 2023 3:06 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 22, 2023 7:01 pm
Πιο ψηλά δεν πάει.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d . Η χορδή AT διέρχεται από το μέσο M ,

της χορδής BS . Βρείτε - συναρτήσει της διαμέτρου d - το μέγιστο ύψος του σημείου T .
Επειδή το M «βλέπει» το σταθερό OB υπό ορθή γωνία , θα ανήκει στο σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου OB.

Για να πετύχω το μέγιστο ύψος , y = TE , αρκεί η AT να γίνει εφαπτομένη αυτού του μικρού ημικυκλίου.

Έστω d = 6k \Rightarrow R = 3k\,\,,\,\,k > 0. Με D προβολή του M στην AB, η τετράδα \left( {A,D\backslash O,B} \right) είναι αρμονική .

Από την αρμονική αναλογία :

\dfrac{{DO}}{{DB}} = \dfrac{{AO}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{OB - DO}} = \dfrac{{3k}}{{6k}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{3k - DO}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow OD = k και άρα DB = 2k. Έτσι :

\left\{ \begin{gathered} 
  A{M^2} = AO \cdot AB = 18{k^2} \hfill \\ 
  M{D^2} = OD \cdot DB = 2{k^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AM = 3k\sqrt 2  \hfill \\ 
  MD = k\sqrt 2  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .
Πιο ψηλά δεν πάει_κατασκευή.png
Πιο ψηλά δεν πάει_κατασκευή.png (14.39 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Από τα όμοια τρίγωνα DMA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ETA έχω: \dfrac{{TE}}{{MD}} = \dfrac{{TA}}{{MA}} \Rightarrow \dfrac{y}{{k\sqrt 2 }} = \dfrac{{AT}}{{3k\sqrt 2 }} \Rightarrow AT = 3y\,\,\left( 1 \right)

\left\{ \begin{gathered} 
  A{T^2} = AE \cdot AB \hfill \\ 
  T{E^2} = AE \cdot EB \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Θέτω DE = x και διαιρώ τις δύο προηγούμενες κατά μέλη,

\dfrac{{9{y^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{6k}}{{2k - x}} \Rightarrow 3 = \dfrac{{2k}}{{2k - x}} \Rightarrow x = \dfrac{{4k}}{3} και άρα \boxed{EB = \dfrac{{2k}}{3}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\boxed{AE = \dfrac{{16k}}{3}}\,\,\,

Έτσι από {y^2} = AE \cdot EB = \dfrac{{16}}{9} \cdot 2{k^2} ή τελικά : \boxed{{y_{\max }} = \dfrac{4}{3}k\sqrt 2  = \dfrac{4}{3} \cdot \frac{d}{6}\sqrt 2  = \dfrac{{2\sqrt 2 d}}{9}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Ιαν 23, 2023 11:16 pm

Η ιδέα όπως του Νίκου, οι πράξεις όμως μπορούν να απλοποιηθούν.
Το M θα διαγράψει ημικύκλιο και το μέγιστο θα συμβεί όταν η AT εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου.
Εύκολα ακόμα, AM= \sqrt{8}r και \triangle AMC \sim \triangle ATB με συντελεστή αναλογίας 3/4. Άρα

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& 2(AMC) = MC \cdot AM = AC \cdot MD \rightarrow MD = {\sqrt{8} \over 3} r \cr 
& TE = {4 \over 3} MD  \rightarrow TE =  {4 \over 3} {\sqrt{8} \over 3} r = {2 \sqrt{2} \over 9} r \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_1max272.png
rsz_1max272.png (37.35 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9129
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πιο ψηλά δεν πάει

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 24, 2023 1:23 am

:10sta10:
nickchalkida έγραψε:
Δευ Ιαν 23, 2023 11:16 pm
Η ιδέα όπως του Νίκου, οι πράξεις όμως μπορούν να απλοποιηθούν.
Το M θα διαγράψει ημικύκλιο και το μέγιστο θα συμβεί όταν η AT εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου.
Εύκολα ακόμα, AM= \sqrt{8}r και \triangle AMC \sim \triangle ATB με συντελεστή αναλογίας 3/4. Άρα

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& 2(AMC) = MC \cdot AM = AC \cdot MD \rightarrow MD = {\sqrt{8} \over 3} r \cr 
& TE = {4 \over 3} MD  \rightarrow TE =  {4 \over 3} {\sqrt{8} \over 3} r = {2 \sqrt{2} \over 9} r \cr 
\end{aligned} 
}
:coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης