Γινόμενο , πηλίκον και όριο

KARKAR · #1

: Γινόμενο , πηλίκον και όριο.png (6.55 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας OA=5

, του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κινείται σημείο

,

από το οποίο φέρουμε την τέμνουσα STB

. Ονομάζουμε

, το

και

, το

.

α) Αν : $y\cdot x=40$ , υπολογίστε το : $\dfrac{y}{x}$

β) Υπολογίστε το : $\ell im(x\cdot y)$ , καθώς το

απομακρύνεται από το

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 18, 2023 8:39 pm
Γινόμενο , πηλίκον και όριο.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κινείται σημείο ,

από το οποίο φέρουμε την τέμνουσα . Ονομάζουμε , το και , το .

α) Αν : $y\cdot x=40$ , υπολογίστε το : $\dfrac{y}{x}$

β) Υπολογίστε το : $\ell im(x\cdot y)$ , καθώς το απομακρύνεται από το .

Aπό Πυθαγόρειο OS^2= (x+y)^2-5^2

. Από την δύναμη του σημείου

έχουμε

. Άρα

, οπότε

. Άρα $x=\sqrt {10}$ οπότε και $y=4\sqrt {10}$ , από όπου y/x=4

.

β) Ηδη βρήκαμε x^2=50-xy

. Καθώς το

ασπομακρύνεται έχουμε ότι $x\to 0$ , οπότε η προηγούμενη δίνει $xy\to 50$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 18, 2023 8:39 pm
Γινόμενο , πηλίκον και όριο.pngΣτην προέκταση της ακτίνας , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κινείται σημείο ,

από το οποίο φέρουμε την τέμνουσα . Ονομάζουμε , το και , το .

α) Αν : $y\cdot x=40$ , υπολογίστε το : $\dfrac{y}{x}$

β) Υπολογίστε το : $\ell im(x\cdot y)$ , καθώς το απομακρύνεται από το .

Γράφω το ημικύκλιο του $\vartriangle OBC$ , που προφανώς έχει κέντρο το μέσο

του

.

Τα ισοσκελή τρίγωνα $OTB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KBO$ έχουν κοινή τη γωνία στο

οπότε είναι όμοια.

Από την ομοιότητα αυτή έχω: $\dfrac{{OT}}{{KB}} = \dfrac{{BT}}{{BO}} \Rightarrow \dfrac{5}{{\dfrac{{x + y}}{2}}} = \dfrac{x}{5} \Rightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} = \dfrac{x}{5} \Rightarrow x(x + y) = 50$ .

Δηλαδή : $\boxed{xy = 50 - {x^2}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: Γινόμενο πηλίκο όριο.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

α) Αν

από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει : ${x^2} = 10$ άρα $x = \sqrt {10}$ που πάλι η $\left( 1 \right)$

γράφεται , $y\sqrt {10} = 40 \Rightarrow y = 4\sqrt {10}$ οπότε , $\boxed{\frac{y}{x} = 4}$

β) Καθώς το $S \to + \infty$ , $x \to 0$ και έτσι λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( {xy} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {50 - {x^2}} \right) = 50.$

Παρατήρηση :

Καθώς το

απομακρύνεται απεριόριστα από το

, το

πλησιάζει όλο και

περισσότερο στο

Δηλαδή εποπτικά : $y \to + \infty$ , $x \to 0$ και έτσι λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \left( {xy} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {50 - {x^2}} \right) = 50.$

Αλλά και αλγεβρικά , αφού σε γραπτά Πανελληνίων δύσκολα θα δεχθούν την εποπτεία :
Από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει : $x = g(y) = \dfrac{{\sqrt {{y^2} + 200} - y}}{2}$

που με τη μέθοδο της συζυγούς παράστασης , $\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } g\left( y \right) = 0$ .

Γινόμενο , πηλίκον και όριο

Γινόμενο , πηλίκον και όριο

Re: Γινόμενο , πηλίκον και όριο

Re: Γινόμενο , πηλίκον και όριο

Μέλη σε σύνδεση