Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

KARKAR · #1

: Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Με βάση την - αποστήματος $\dfrac{r}{2}$ - χορδή

και την κορυφή

, σημείο του κύκλου (O)

,

σχεδιάστε παραλληλόγραμμο ABCD

, τέτοιο ώστε : $\widehat{ DOC}=90^0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 05, 2022 8:59 pm
Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο.pngΜε βάση την - αποστήματος $\dfrac{r}{2}$ - χορδή και την κορυφή , σημείο του κύκλου ,

σχεδιάστε παραλληλόγραμμο , τέτοιο ώστε : $\widehat{ DOC}=90^0$ .

Δεν ξέρω κατά πόσο είναι ανάγκη να δοθεί το απόστημα στη χορδή

(αν θέλεις συγκεκριμένη χορδή Θανάση πάρε

) . Ας το δούμε για οποιαδήποτε χορδή έχει λύση το πρόβλημα.

: Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο.png (25.73 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές

Έστω ότι το παραλληλόγραμμο είναι κατασκευασμένο όπως θέλουμε και ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον

και $E\equiv \left( O \right)\cap DC,E\ne D$

Τότε με $\angle DOC=\angle POC={{90}^{0}}=\angle PEC\Rightarrow O,E,C,P$ ομοκυκλικά και από το Θεώρημα των τεμνομένων χορδών θα είναι: $DE\cdot DC=DO\cdot DP\overset{DC=AB,DO=r,DP=2r}{\mathop{\Rightarrow }}\,\ldots DE=\dfrac{2{{r}^{2}}}{AB}:\left( 1 \right)$

Αν $DT\bot AB\left( T\in AB \right)$ τότε από το ισοσκελές τραπέζιο ABED

(τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο) θα είναι: $AT=\dfrac{AB-DE}{2}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\dfrac{A{{B}^{2}}-2{{r}^{2}}}{2AB}=ct$ και συνεπώς το (τα)

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της καθέτου προς την

στο

με τον κύκλο (υπάρχουν δύο σημεία και τα δύο δεκτά ) εκ των οποίων στο σχήμα βρίσκεται το «από πάνω» από την

και στη συνέχεια η εύκολη κατασκευή του (των ) παραλληλογράμμου (ων) από δύο διαδοχικές πλευρές του. Η απόδειξη είναι παιδική …

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 05, 2022 8:59 pm
Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο.pngΜε βάση την - αποστήματος $\dfrac{r}{2}$ - χορδή και την κορυφή , σημείο του κύκλου ,

σχεδιάστε παραλληλόγραμμο , τέτοιο ώστε : $\widehat{ DOC}=90^0$ .

Φέρνω το ύψος

του παραλληλογράμμου. Από το μήκος του αποστήματος προκύπτει ότι η χορδή

είναι ίση με την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

δηλαδή, $AB=r\sqrt 3.$

: Ορθή σε πλάγιο.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές

$\displaystyle {r^2} = DN \cdot DC = DNr\sqrt 3 \Leftrightarrow DN = \frac{{r\sqrt 3 }}{3}$ και $\displaystyle AT = AM - TM = \frac{{r\sqrt 3 }}{6}.$

Στο σταθερό σημείο

φέρνω κάθετη στην

που τέμνει τον κύκλο στο

Στη συνέχεια εύκολα

κατασκευάζεται και η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου. Το πρόβλημα έχει δύο λύσεις.

S.E.Louridas · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 05, 2022 8:59 pm
Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο.pngΜε βάση την - αποστήματος $\dfrac{r}{2}$ - χορδή και την κορυφή , σημείο του κύκλου ,
σχεδιάστε παραλληλόγραμμο , τέτοιο ώστε : $\widehat{ DOC}=90^0$ .

Και μόνο για λόγους πολυφωνίας.

Για δεδομένη χορδή AB,

ας πούμε «κάτω» από το κέντρο.

Κατασκευάζουμε διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {OT} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .}$

Το μέσο

της ζητούμενης

το προσδιορίζουμε ως τομή των κύκλων (O,OT), (T,r)

(

το κέντρο του δοθέντος κύκλου και

η ακτίνα του).

Έτσι προσδιορίζουμε κατασκευαστικά άμεσα το $\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {OT}=\overrightarrow {AB} ,$ δηλαδή το ζητούμενο παραλληλόγραμμο.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 05, 2022 8:59 pm
Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο.pngΜε βάση την - αποστήματος $\dfrac{r}{2}$ - χορδή και την κορυφή , σημείο του κύκλου ,

σχεδιάστε παραλληλόγραμμο , τέτοιο ώστε : $\widehat{ DOC}=90^0$ .

Ανάλυση.
Έχω ένα σταθερό κύκλο , $\left( {O,r} \right)$ και μια σταθερή του χορδή AB = a

.

Ζητώ να προσδιορίσω σημείο

του κύκλου, ώστε αν σχεδιάσω το παραλληλόγραμμο ABCD

να είναι $OC \bot OD$ .

Αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο OCD

είναι γνωστή η υποτείνουσα DC = a

και η κάθετη πλευρά του OD = r

αυτό κατασκευάζεται .

Κατασκευή.

: Ορθή γωνία σε πλάγιο παραληλλόγραμμο.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

που ο κύκλος $\left( {B,BO} \right)$ τον τέμνει στο

. Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Σχεδιάζω το παραλληλόγραμμο , OZFT

. Η από το

παράλληλη στην

τέμνει τον κύκλο $\left( {O,r} \right)$ σε δύο σημεία το ένα απ’ αυτά είναι το

.

Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

Re: Ορθή σε πλάγιο παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση