Ανισότητα από διχοτόμηση

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13806
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανισότητα από διχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:36 pm

Ανισότητα  από  διχοτόμηση.png
Ανισότητα από διχοτόμηση.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές
Οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο S .

Βρείτε - συναρτήσει των πλευρών b , c - τον λόγο : \dfrac{(SBC)}{(ABSC)} και την ελάχιστη τιμή του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα από διχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 24, 2022 1:50 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:36 pm
Ανισότητα από διχοτόμηση.pngΟι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο S .

Βρείτε - συναρτήσει των πλευρών b , c - τον λόγο : \dfrac{(SBC)}{(ABSC)} και την ελάχιστη τιμή του .
Σε κάθε τρίγωνο είναι \displaystyle SA = 4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2},SB = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2},SC = 4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}.

Στην περίπτωσή μας 2R = a και, \sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.
Ανισότητα από διχοτόμηση.png
Ανισότητα από διχοτόμηση.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές
\displaystyle \frac{{(CBS)}}{{(ABSC)}} = \frac{{SB \cdot SC\sin 135^\circ }}{{SA(b + c)\sin 45^\circ }} = \frac{{4{a^2}si{n^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{2a(b + c)\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{a}{{b + c}}

Άρα, \boxed{\frac{{(CBS)}}{{(ABSC)}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}} Αλλά, \displaystyle 2({b^2} + {c^2}) \geqslant {(b + c)^2} \Leftrightarrow \boxed{\min \left( {\frac{{(CBS)}}{{(ABSC)}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}} όταν \boxed{b=c}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα από διχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 24, 2022 5:00 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:36 pm
Ανισότητα από διχοτόμηση.pngΟι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ABC τέμνονται στο σημείο S .

Βρείτε - συναρτήσει των πλευρών b , c - τον λόγο : \dfrac{(SBC)}{(ABSC)} και την ελάχιστη τιμή του .
Αλλιώς, πολύ ευκολότερα.
Ανισότητα από διχοτόμηση.β.png
Ανισότητα από διχοτόμηση.β.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
\displaystyle \frac{{(CBS)}}{{(ACSB)}} = \frac{{ar}}{{(b + c)r}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}. Τα υπόλοιπα όπως πριν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης