Ανισότητα από διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Ανισότητα από διχοτόμηση.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ABC

τέμνονται στο σημείο

.

Βρείτε - συναρτήσει των πλευρών b , c

- τον λόγο : $\dfrac{(SBC)}{(ABSC)}$ και την ελάχιστη τιμή του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:36 pm
Ανισότητα από διχοτόμηση.pngΟι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου τέμνονται στο σημείο .

Βρείτε - συναρτήσει των πλευρών - τον λόγο : $\dfrac{(SBC)}{(ABSC)}$ και την ελάχιστη τιμή του .

Σε κάθε τρίγωνο είναι $\displaystyle SA = 4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2},SB = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2},SC = 4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}.$

Στην περίπτωσή μας 2R = a

και, $\sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$

: Ανισότητα από διχοτόμηση.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

$\displaystyle \frac{{(CBS)}}{{(ABSC)}} = \frac{{SB \cdot SC\sin 135^\circ }}{{SA(b + c)\sin 45^\circ }} = \frac{{4{a^2}si{n^2}\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{2a(b + c)\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{a}{{b + c}}$

Άρα, $\boxed{\frac{{(CBS)}}{{(ABSC)}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}}$ Αλλά, $\displaystyle 2({b^2} + {c^2}) \geqslant {(b + c)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\min \left( {\frac{{(CBS)}}{{(ABSC)}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$ όταν $\boxed{b=c}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:36 pm
Ανισότητα από διχοτόμηση.pngΟι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου τέμνονται στο σημείο .

Βρείτε - συναρτήσει των πλευρών - τον λόγο : $\dfrac{(SBC)}{(ABSC)}$ και την ελάχιστη τιμή του .

Αλλιώς, πολύ ευκολότερα.

: Ανισότητα από διχοτόμηση.β.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

$\displaystyle \frac{{(CBS)}}{{(ACSB)}} = \frac{{ar}}{{(b + c)r}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}.$ Τα υπόλοιπα όπως πριν.

Ανισότητα από διχοτόμηση

Ανισότητα από διχοτόμηση

Re: Ανισότητα από διχοτόμηση

Re: Ανισότητα από διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση