Μέγιστο και τόπος

KARKAR · #1

: Μέγιστο και τόπος.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Η κορυφή

του τριγώνου ABC

κινείται στον ημιάξονα

. Σημείο

κινείται στη βάση

.

Φέρω : $SP \perp AB , SQ \perp AC$ και συμπληρώνω το παραλληλόγραμμο SPTQ

.

α) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του

είναι τμήμα ευθείας , η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο .

β) Αν σταθεροποιήσουμε την κορυφή

, για ποια θέση του

μεγιστοποιείται το : (SPTQ)

;

abgd · #2

: max.png (99.43 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές

Μια γεωμετρική προσέγγιση...

Έστω τμήμα $\displaystyle{BC}}$ , $\displaystyle{M}}$ , το μέσο του $\displaystyle{BC}}$ και $\displaystyle{O}}$ σταθερό σημείο του $\displaystyle{BM}}$ .

Θεωρούμε σημείο $\displaystyle{A}}$ να κινείται στην κάθετο στην $\displaystyle{BC}}$ στο $\displaystyle{O}}$ .
.........................................................................................
Αν $\displaystyle{BD}}$ , $\displaystyle{CE}}$ τα ύψη του τριγώνου $\displaystyle{ABC}}$ τότε η ευθεία $\displaystyle{DE}}$

τέμνει την ευθεία $\displaystyle{BC}}$ σε σημείο $\displaystyle{F}}$ , το οποίο είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση του $\displaystyle{A}}$ .

Πράγματι, από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{OAB, \ \ OCG}}$ και με τη βοήθεια των κύκλων $\displaystyle{(M,R), \ \ (N,r)}}$ , έχουμε

$\displaystyle{OB\cdot OC=OG\cdot OA=ON^2-r^2=FN^2-FO^2-r^2=FE\cdot FD-FO^2= FB\cdot FC-FO^2=}}$

$\displaystyle{=(FO-OB)(FO+OC)-FO^2= FO(OC-OB)-OB\cdot OC} \Rightarrow \boxed{FO=\frac{2OB\cdot OC}{OC-OB}}}$

Από σημείο $\displaystyle{S}}$ το οποίο κινείται στο $\displaystyle{BC}}$ φέρουμε $\displaystyle{SP\perp AB, SQ \perp AC}}$
...............................................................................................
Από το $\displaystyle{P}}$ φέρουμε παράλληλη στην $\displaystyle{SQ}}$ η οποία τέμνει το $\displaystyle{DE}}$ στο σημείο $\displaystyle{T}}$ .

Θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{SPTQ}}$ είναι παραλληλόγραμμο.

Πράγματι $\displaystyle{\frac{DT}{TE}=\frac{BP}{PE}=\frac{BS}{SC}=\frac{DQ}{QC}}}$ . Άρα $\displaystyle{TQ//EC}}$ οπότε $\displaystyle{TQ//SP}}$ .
..................................................................................................
Έτσι δείξαμε ότι: Θεωρώντας το σημείο $\displaystyle{A}}$ σε μια τυχαία θέση πάνω στην κάθετο στην $\displaystyle{BC}}$ στο $\displaystyle{O}}$ και το σημείο $\displaystyle{S}}$ να κινείται στο $\displaystyle{BC}}$ ,

η κορυφή $\displaystyle{T}}$ του παραλληλογράμμου $\displaystyle{SPTQ}}$ κινείται στο τμήμα $\displaystyle{DE}}$ της ευθείας,

η οποία περνάει από το σταθερό σημείο $\displaystyle{F}}$ της ευθείας $\displaystyle{BC}}$ .
.................................................................................................

Ακόμη για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι:

$\displaystyle{(SPTQ)=SP\cdot SQ\cdot sinA=SB\cdot sinB\cdot SC\cdot sinC\cdot sinA=(R^2-SM^2)\cdot sinA\cdot sinB \cdot sinC}$ .

Άρα

$\displaystyle{(SPTQ)\leq \frac{BC^2}{4}\cdot sinA\cdot sinB \cdot sinC }}$ .

Οπότε η μέγιστη τιμή του εμβαδού $\displaystyle{(SPTQ)}$ είναι

$\displaystyle{\frac{BC^2}{4}\cdot sinA\cdot sinB \cdot sinC }}$

όταν το $\displaystyle{S}$ περνάει από το μέσο του $\displaystyle{BC}$ .

Μέγιστο και τόπος

Μέγιστο και τόπος

Re: Μέγιστο και τόπος

Μέλη σε σύνδεση