Μεγιστοποίηση του φούξια

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση του φούξια.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Στην πλευρά

του τετραγώνου ABCD

κινείται σημείο

. Επί της

θεωρούμε

σημείο

, τέτοιο ώστε : SP=SA

. Η

προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Για ποια θέση του

μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου SPT

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 23, 2022 7:53 pm
Μεγιστοποίηση του φούξια.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου κινείται σημείο . Επί της θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : . Η προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου ;

Θεωρούμε (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι

και βρίσκουμε εύκολα τις συντεταγμένες των A,B,D,S,P

σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με ήμιαξονες Ax,Ay

τις ημιεθείες AB,AD

, με $k\in \left[ 0,1 \right]$ όπως φαίνονται στο συνημμένο σχήμα.
Με $AS\parallel TB\Rightarrow \left( SPT \right)=\left( APB \right)=\dfrac{\left( AB \right)\cdot \left( PL \right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left( PL \right)$ , όπου $PL\bot AB$ και προφανώς ζητάμε τη θέση του $S\left( 0,k \right)$ , δηλαδή το

ώστε να έχουμε το μέγιστο

δηλαδή το μέγιστο

.

: Μεγιστοποίσηση φούξια.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Από $SP=AS\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{k}^{2}}:\left( 1 \right)$ και από την συνευθειακότητα των $S,P,B\Leftrightarrow \overrightarrow{SB}\parallel \overrightarrow{BP}\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{SB},\overrightarrow{BP} \right)=0$ $\overset{\overrightarrow{SB}=\left( 1,-k \right),\overrightarrow{BP}=\left( x-1,y \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left| \begin{matrix} 1 & -k \\ x-1 & y \\ \end{matrix} \right|=0\Leftrightarrow y+kx-k=0\Leftrightarrow k=\dfrac{y}{1-x}$ οπότε η $\left( 1 \right)$ γίνεται ${{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{y}{1-x} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{y}{1-x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \ldots {{y}^{2}}=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{x+1},x\in \left[ 0,1 \right]$
Η

είναι προφανώς (τύπος ρητής) συνεχής στο $\left[ 0,1 \right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left( 0,1 \right)$ με ${f}'\left( x \right)=\dfrac{\left( 2x-3{{x}^{2}} \right)\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}+{{x}^{3}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\ldots \dfrac{-2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\left( {{x}^{2}}+x-1 \right),x\in \left( 0,1 \right)$ με ${f}'\left( x \right)=0\overset{x\in \left( 0,1 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ και προφανώς γίνεται εναλλαγή του προσήμου της εκατέρωθεν του εν λόγω

από

σε

(από θετικά

και πρόσημο τριωνύμου) άρα η $f\left( x \right)=y$ παρουσιάζει μέγιστο (δηλαδή τελικά έχουμε το μέγιστο του ζητούμενου εμβαδού για $x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ το $y=f\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)$ , άρα $k=\dfrac{y}{1-x}=\dfrac{f\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}{1-\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ , βρες με λογισμικό για γρήγορους λογαριασμούς

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 23, 2022 7:53 pm
Μεγιστοποίηση του φούξια.pngΣτην πλευρά του τετραγώνου κινείται σημείο . Επί της θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : . Η προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου ;

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και AS=SP=x, BP=BT=y.

Επειδή το

είναι τραπέζιο, θα είναι:

: Μεγιστοποίηση του φούξια.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

$\displaystyle {(SPT)^2} = (PAS)(PBT) = \left( {\frac{1}{2}{x^2}\sin \theta } \right)\left( {\frac{1}{2}{y^2}\sin \theta } \right) \Leftrightarrow (SPT) = \frac{1}{2}xy\sin \theta$

Αλλά, $\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }},y = \sqrt {{x^2} + {a^2}} - x \Rightarrow$ $\boxed{(SPT) = f(x) = \frac{{ax\left( {\sqrt {{x^2} + {a^2}} - x} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}}$

Από εδώ και κάτω με παραγώγους βρίσκω (*) $\boxed{{(SPT)_{\max }} = {a^2}\sqrt {\frac{{5\sqrt 5 - 11}}{8}}}$ όταν $\boxed{x = a\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} }$

(*) Για την ακρίβεια, το λογισμικό το βρήκε. Βγαίνει και με το χέρι, αλλά έχει αρκετές πράξεις που προτίμησα να τις αποφύγω.

Μεγιστοποίηση του φούξια

Μεγιστοποίηση του φούξια

Re: Μεγιστοποίηση του φούξια

Re: Μεγιστοποίηση του φούξια

Μέλη σε σύνδεση