Μεγιστοποίηση του φούξια

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13518
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση του φούξια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 23, 2022 7:53 pm

Μεγιστοποίηση  του φούξια.png
Μεγιστοποίηση του φούξια.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Στην πλευρά AD του τετραγώνου ABCD κινείται σημείο S . Επί της BS θεωρούμε

σημείο P , τέτοιο ώστε : SP=SA . Η AP προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά BD

στο σημείο T . Για ποια θέση του S μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου SPT ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4445
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μεγιστοποίηση του φούξια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μάιος 23, 2022 11:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 7:53 pm
Μεγιστοποίηση του φούξια.pngΣτην πλευρά AD του τετραγώνου ABCD κινείται σημείο S . Επί της BS θεωρούμε

σημείο P , τέτοιο ώστε : SP=SA . Η AP προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά BD

στο σημείο T . Για ποια θέση του S μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου SPT ;
Θεωρούμε (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 1 και βρίσκουμε εύκολα τις συντεταγμένες των A,B,D,S,P σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με ήμιαξονες Ax,Ay τις ημιεθείες AB,AD , με k\in \left[ 0,1 \right] όπως φαίνονται στο συνημμένο σχήμα.
Με AS\parallel TB\Rightarrow \left( SPT \right)=\left( APB \right)=\dfrac{\left( AB \right)\cdot \left( PL \right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left( PL \right) , όπου PL\bot ABκαι προφανώς ζητάμε τη θέση του S\left( 0,k \right) , δηλαδή το k ώστε να έχουμε το μέγιστο PL δηλαδή το μέγιστο y .
Μεγιστοποίσηση φούξια.png
Μεγιστοποίσηση φούξια.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Από SP=AS\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}={{k}^{2}}:\left( 1 \right) και από την συνευθειακότητα των S,P,B\Leftrightarrow \overrightarrow{SB}\parallel \overrightarrow{BP}\Leftrightarrow \det \left( \overrightarrow{SB},\overrightarrow{BP} \right)=0 \overset{\overrightarrow{SB}=\left( 1,-k \right),\overrightarrow{BP}=\left( x-1,y \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left| \begin{matrix} 
   1 & -k  \\ 
   x-1 & y  \\ 
\end{matrix} \right|=0\Leftrightarrow y+kx-k=0\Leftrightarrow k=\dfrac{y}{1-x} οπότε η \left( 1 \right) γίνεται {{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{y}{1-x} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{y}{1-x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \ldots {{y}^{2}}=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{x+1},x\in \left[ 0,1 \right]
Η f είναι προφανώς (τύπος ρητής) συνεχής στο \left[ 0,1 \right] και παραγωγίσιμη στο \left( 0,1 \right) με {f}'\left( x \right)=\dfrac{\left( 2x-3{{x}^{2}} \right)\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}+{{x}^{3}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\ldots \dfrac{-2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\left( {{x}^{2}}+x-1 \right),x\in \left( 0,1 \right) με {f}'\left( x \right)=0\overset{x\in \left( 0,1 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} και προφανώς γίνεται εναλλαγή του προσήμου της εκατέρωθεν του εν λόγω x από + σε - (από θετικά x και πρόσημο τριωνύμου) άρα η f\left( x \right)=y παρουσιάζει μέγιστο (δηλαδή τελικά έχουμε το μέγιστο του ζητούμενου εμβαδού για x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} το y=f\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right) , άρα k=\dfrac{y}{1-x}=\dfrac{f\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}{1-\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}} , βρες με λογισμικό για γρήγορους λογαριασμούς :lol:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση του φούξια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 24, 2022 10:41 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 7:53 pm
Μεγιστοποίηση του φούξια.pngΣτην πλευρά AD του τετραγώνου ABCD κινείται σημείο S . Επί της BS θεωρούμε

σημείο P , τέτοιο ώστε : SP=SA . Η AP προεκτεινόμενη , τέμνει την πλευρά BD

στο σημείο T . Για ποια θέση του S μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου SPT ;
Έστω a η πλευρά του τετραγώνου και AS=SP=x, BP=BT=y. Επειδή το ABTS είναι τραπέζιο, θα είναι:
Μεγιστοποίηση του φούξια.png
Μεγιστοποίηση του φούξια.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
\displaystyle {(SPT)^2} = (PAS)(PBT) = \left( {\frac{1}{2}{x^2}\sin \theta } \right)\left( {\frac{1}{2}{y^2}\sin \theta } \right) \Leftrightarrow (SPT) = \frac{1}{2}xy\sin \theta

Αλλά, \displaystyle \sin \theta  = \frac{a}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }},y = \sqrt {{x^2} + {a^2}}  - x \Rightarrow \boxed{(SPT) = f(x) = \frac{{ax\left( {\sqrt {{x^2} + {a^2}}  - x} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}}

Από εδώ και κάτω με παραγώγους βρίσκω (*) \boxed{{(SPT)_{\max }} = {a^2}\sqrt {\frac{{5\sqrt 5  - 11}}{8}}} όταν \boxed{x = a\sqrt {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} }


(*) Για την ακρίβεια, το λογισμικό το βρήκε. Βγαίνει και με το χέρι, αλλά έχει αρκετές πράξεις που προτίμησα να τις αποφύγω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης