Όσο πιο μακριά γίνεται

KARKAR · #1

: Όσο πιο μακριά γίνεται.png (8 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

, του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

. Η μεσοκάθετος

του

, τέμνει την

στο

. Για ποια θέση του

, μεγιστοποιείται το τμήμα

;

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Πρέπει το σημείο $\mathrm{S}$ να είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $\mathrm{MCB}$ , όπου $\mathrm{M}$ το μέσο της πλευράς $\mathrm{AB}$ .

Αναλυτική λύση το απόγευμα.

Maria-Eleni Nikolaou · #3

: Όσο πιο μακριά γινεται.png (29.56 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Φέρουμε

μεσοκάθετη της πλευράς

.
Έστω

διχοτόμος της γωνίας $\angle MCB$ , τότε: $\angle TCS = \angle TSC = 15^{\circ}$
Επίσης, έχουμε: TC = TS

. Ισχύει $\angle BTS=30^{\circ}$ , οπότε: $\angle BST=90^{\circ}$
Άρα, $ST\perp BS$ , οπότε: $\dfrac{ST}{BT}=\dfrac{TC}{BT}$ είναι το ελάχιστο δυνατό, δηλαδή μεγιστοποιείται το τμήμα

.

#4

Καλησπέρα σε όλους. Χρόνια πολλά στην Μαρία - Ελένη. Ας δούμε και μια τριγωνομετρική προσέγγιση.

: 21-05-2022 Γεωμετρία.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

Έστω

η πλευρά του τριγώνου και BT=x, 0<x<1

, οπότε

.

Είναι $\displaystyle \frac{x}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{1 - x}}{{\eta \mu 60^\circ }} \Leftrightarrow \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \eta \mu \omega } \right)x = \eta \mu \omega \Leftrightarrow x = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \eta \mu \omega }}$

Το

παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν το $\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\eta \mu \omega }} + 1$ παίρνει την ελάχιστη τιμή του.

Είναι $\displaystyle \eta \mu \omega \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{{2\eta \mu \omega }} + 1 \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1$ με το ελάχιστο να επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle \omega = 90^\circ$ , δηλαδή όταν $\displaystyle TS \bot AB$ .

Maria-Eleni Nikolaou · #5

Σας ευχαριστώ πολύ, εύχομαι τα καλύτερα σε όλους τους εορτάζοντες.
Πολύ ενδιαφέρουσα η τριγωνομετρική λύση!

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 20, 2022 7:53 pm
Όσο πιο μακριά γίνεται.pngΣημείο κινείται στην πλευρά , του ισοπλεύρου τριγώνου . Η μεσοκάθετος

του , τέμνει την στο . Για ποια θέση του , μεγιστοποιείται το τμήμα ;

Και μία με Αναλυτική. Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το B(0,0)

και

Θέτω $S(s,s\sqrt 3),$

T(t,0),

οπότε θα είναι $\displaystyle M\left( {\frac{{a + s}}{2},\frac{{s\sqrt 3 }}{2}} \right).$ Η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι:

: Όσο πιο μακριά γίνεται.Κ.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

$\displaystyle y - \frac{{s\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a - s}}{{2s\sqrt 3 }}\left( {x - \frac{{a + s}}{2}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{y = 0} x = t = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} - 4{s^2}}}{{a - s}}} \right).$ Με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω ότι για $\boxed{s = \frac{a}{2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}$ έχουμε μέγιστη τιμή $\boxed{B{T_{\max }} = 2a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}$

Όσο πιο μακριά γίνεται

Όσο πιο μακριά γίνεται

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

Μέλη σε σύνδεση