Όσο πιο μακριά γίνεται

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13517
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Όσο πιο μακριά γίνεται

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 20, 2022 7:53 pm

Όσο  πιο μακριά  γίνεται.png
Όσο πιο μακριά γίνεται.png (8 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Σημείο S κινείται στην πλευρά AB , του ισοπλεύρου τριγώνου ABC . Η μεσοκάθετος

του CS , τέμνει την BC στο T . Για ποια θέση του S , μεγιστοποιείται το τμήμα BT ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Σάβ Μάιος 21, 2022 2:22 pm

Πρέπει το σημείο \mathrm{S} να είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας \mathrm{MCB} , όπου \mathrm{M} το μέσο της πλευράς \mathrm{AB}.

Αναλυτική λύση το απόγευμα.


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Σάβ Μάιος 21, 2022 5:01 pm

Όσο πιο μακριά γινεται.png
Όσο πιο μακριά γινεται.png (29.56 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Φέρουμε CM μεσοκάθετη της πλευράς AB.
Έστω CS διχοτόμος της γωνίας \angle MCB, τότε: \angle TCS = \angle TSC = 15^{\circ}
Επίσης, έχουμε: TC = TS. Ισχύει \angle BTS=30^{\circ}, οπότε: \angle BST=90^{\circ}
Άρα, ST\perp BS, οπότε: \dfrac{ST}{BT}=\dfrac{TC}{BT} είναι το ελάχιστο δυνατό, δηλαδή μεγιστοποιείται το τμήμα BT.


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5052
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 21, 2022 6:51 pm

Καλησπέρα σε όλους. Χρόνια πολλά στην Μαρία - Ελένη. Ας δούμε και μια τριγωνομετρική προσέγγιση.


21-05-2022 Γεωμετρία.png
21-05-2022 Γεωμετρία.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές


Έστω 1 η πλευρά του τριγώνου και BT=x, 0<x<1, οπότε TC=TS=1-x.

Είναι  \displaystyle \frac{x}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{1 - x}}{{\eta \mu 60^\circ }} \Leftrightarrow \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \eta \mu \omega } \right)x = \eta \mu \omega  \Leftrightarrow x = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \eta \mu \omega }}

Το x παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν το  \displaystyle \frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\eta \mu \omega }} + 1 παίρνει την ελάχιστη τιμή του.

Είναι  \displaystyle \eta \mu \omega  \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{{2\eta \mu \omega }} + 1 \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1 με το ελάχιστο να επιτυγχάνεται όταν  \displaystyle \omega  = 90^\circ , δηλαδή όταν  \displaystyle TS \bot AB .


Άβαταρ μέλους
Maria-Eleni Nikolaou
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maria-Eleni Nikolaou » Σάβ Μάιος 21, 2022 7:37 pm

Σας ευχαριστώ πολύ, εύχομαι τα καλύτερα σε όλους τους εορτάζοντες.
Πολύ ενδιαφέρουσα η τριγωνομετρική λύση!


Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Όσο πιο μακριά γίνεται

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 22, 2022 9:09 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 20, 2022 7:53 pm
Όσο πιο μακριά γίνεται.pngΣημείο S κινείται στην πλευρά AB , του ισοπλεύρου τριγώνου ABC . Η μεσοκάθετος

του CS , τέμνει την BC στο T . Για ποια θέση του S , μεγιστοποιείται το τμήμα BT ;
Και μία με Αναλυτική. Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το B(0,0) και C(a,0). Θέτω S(s,s\sqrt 3),

T(t,0), οπότε θα είναι \displaystyle M\left( {\frac{{a + s}}{2},\frac{{s\sqrt 3 }}{2}} \right). Η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι:
Όσο πιο μακριά γίνεται.Κ.png
Όσο πιο μακριά γίνεται.Κ.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
\displaystyle y - \frac{{s\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a - s}}{{2s\sqrt 3 }}\left( {x - \frac{{a + s}}{2}} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{y = 0} x = t = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} - 4{s^2}}}{{a - s}}} \right). Με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω ότι για \boxed{s = \frac{a}{2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} έχουμε μέγιστη τιμή \boxed{B{T_{\max }} = 2a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης