Ελάχιστο συνημίτονο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ. Βασισμένο σε παλαιότερο θέμα του KARKAR

: 15-5 ελάχιστο συνημίτονο .png (122.03 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

Σε κύκλο με κέντρο

η χορδή

είναι κάθετη στο μέσον της ακτίνας

.

Το

κινείται στο τόξο ZAH

και το $N \in ZP$ ώστε ZN=3PN

.

Αν $\widehat{ZHN}=x$ τότε: Ι) Να βρεθεί η θέση του ώστε το να είναι ελάχιστο και

ΙΙ) (προαιρετικό) Να εξεταστεί αν η ελάχιστη αυτή τιμή του είναι ρητός. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 15, 2022 11:00 pm
Καλό βράδυ. Βασισμένο σε παλαιότερο θέμα του KARKAR
15-5 ελάχιστο συνημίτονο .png
Σε κύκλο με κέντρο η χορδή είναι κάθετη στο μέσον της ακτίνας .

Το κινείται στο τόξο και το $N \in ZP$ ώστε .

Αν $\widehat{ZHN}=x$ τότε: Ι) Να βρεθεί η θέση του ώστε το να είναι ελάχιστο και

ΙΙ) (προαιρετικό) Να εξεταστεί αν η ελάχιστη αυτή τιμή του είναι ρητός. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Στη σταθερή ακτίνα

έστω το σταθερό σημείο

για το οποίο με ακτίνα του αρχικού κύκλου OZ = 4m

, να είναι KZ = 3m

.

Το $NK = \dfrac{3}{4}OP = 3m$ και άρα το

ανήκει σε σταθερό τόξο του σταθερό κύκλου : $\displaystyle \left( {K,3m} \right)$ .

Η συνάρτηση $y = \cos x$ , είναι γνήσια φθίνουσα στο $\left( {0,\pi } \right)$ .

: Ελάχιστο συνημίτονο_κατασκευή_1.png (26.45 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Για να έχω ελάχιστο συνημίτονο της οξείας γωνίας

αρκεί αυτή να γίνεται μέγιστη άρα αρκεί να φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

στον κύκλο $\displaystyle \left( {K,3m} \right)$ .

Επειδή το τετράπλευρο OMFH

είναι εγγράψιμο για να είναι ρητός το $\cos x$ θα πρέπει με

ρητός να είναι ρητός το μήκος της χορδής

του κύκλου $\left( {O,4m} \right)$ .

Τελικά (ποτέ μην πείς ποτέ!)

Θ συνημίτονου στο $\vartriangle KZH$ : $u = m\sqrt {21}$ . Π. Θ. στο $\vartriangle KNH$ : $t = 2\sqrt 3 m$

$\boxed{\cos \left( {\theta + x} \right) = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\,\,}$ Πάλι Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle KZH$ , $\boxed{\cos \theta = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}}}$ .

$\cos \left( {\theta + x} \right) = \cos \theta \cdot \cos x - \sin \theta \cdot \sin x$ απ’ όπου έχω $\boxed{\cos x = \frac{{13}}{{14}}}$

: Ελάχιστο συνημίτονο_υπολογισμοί.png (28.37 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

Ελάχιστο συνημίτονο

Ελάχιστο συνημίτονο

Re: Ελάχιστο συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση